Question

18．如图所示，MN、PQ是两条水平平行放置的光滑金属导轨，导轨的右端接理想变压器的原线圈，变压器的副线圈与电阻R=20Ω组成闭合回路，变压器的原副线圈匝数之比n₁：n₂=1：10，导轨宽L=5m．质量m=2kg、电阻r=1Ω的导体棒ab垂直MN、PQ放在导轨上，在水平外力F作用下从t=0时刻开始在图示的两虚线范围内往复运动，其速度随时间变化的规律是v=2sin20πt m/s．垂直轨道平面的匀强磁场的磁感应强度B=4T．导轨、导线和线圈电阻不计．求：
（1）从t=0到t₁=10s的时间内，电阻R上产生的热量Q=？
（2）从t=0到t₂=0.025s的时间内，外力F所做的功W=？

Answer 1

分析 （1）导体棒的速度随着时间按照正弦规律变化，根据公式E=BLv，切割电动势是正弦式交变电流；设副线圈电流为I，根据变流比公式得到原线圈电流和电压，最后结合闭合电路欧姆定律求解变压器的输入电压、输出电压、输入电流、输出电流；
（2）根据功能关系，外力F所做的功W等于回路中产生的总的焦耳热和导体棒的动能增加量之和．

解答 解：（1）a b棒产生的是交流，其电动势瞬时值为：
e=BLv=40 sin20πt V     
故导体棒的电动势有效值为U=20$\sqrt{2}$V；
设副线圈电流为I，根据变流比公式$\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}}=\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}$，原线圈的电流为10I；
副线圈电压：U₂=IR；
根据变压比公式$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}=\frac{{n}_{1}}{{n}_{2}}$，U₁=$\frac{1}{10}{U}_{2}$=$\frac{1}{10}IR$；
根据闭合电路欧姆定律，有：
U=（10I）r+U₁
联立解得：
I=$\frac{5\sqrt{2}}{3}A$
故从t=0到t₁=10s的时间内，电阻R上产生的热量：
Q=${I}^{2}Rt=（\frac{5\sqrt{2}}{3}）^{2}×20×10$=$\frac{10000}{9}J$≈1111.1J
（2）从t=0到t₂=0.025s，经历了四分之一个周期，设在这段时间内电阻r和R上产生的热量分别是Q₁和Q₂，在t₂=0.025 s时刻，ab棒的速度为v₂，则
Q₁=${（10I）}^{2}r{t}_{2}=（10×\frac{5}{3}\sqrt{2}）^{2}×1×0.025$=$\frac{125}{9}J$
Q₂=${I}^{2}R{t}_{2}=（\frac{5}{3}\sqrt{2}）^{2}×20×0.025$=$\frac{25}{9}$J
v₂=2sin20πt₂=2m/s
根据功能关系，有：
W=Q₁+Q₂+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{125}{9}$+$\frac{25}{9}$+$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$≈20.7J
答：（1）从t=0到t₁=10s的时间内，电阻R上产生的热量约为1111.1J；
（2）从t=0到t₂=0.025s的时间内，外力F所做的功约为20.7J．

点评 本题第一问关键是结合变压器的变压比公式和变流比公式列式求解，第二问关键是结合功能关系列式求解，不难．