题目内容

11．如图1所示，间距为L、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上，在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B1，在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B的大小随时间t变化的规律如图2所示．t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图1所示位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动；在t=t0时刻ab棒恰进入区域Ⅱ、两棒均与导轨接触良好，已知ab、cd棒（忽略跨接在导轨外端的长度）的阻值均为R，质量未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2L，重力加速度为g，求：
（1）区域Ⅰ内磁场的方向和0-t0时间内通过ab棒电流的方向；
（2）cd棒的质量；
（3）ab棒开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量．

分析 （1）区域Ⅱ内磁场均匀变化，因此在回路中形成感应电流，根据楞次定律判断出流过cd的电流方向，然后根据平衡求出cd棒所受安培力方向，进一步根据左手定则判断Ⅰ内磁场方向．
（2）根据导体棒处于平衡状态可知，安培力等于重力沿导轨向下分力，由此可求出通过cd棒的质量．
（3）回路中电流恒定，根据Q=EIt可求出结果．

解答 解：（1）0-t0时间内，由楞次定律可知，通过ab棒电流的方向从a到b．流过cd的电流方向从d到c，cd所受安培力沿导轨向上，故由左手定则可知，I内磁场垂直于斜面向上．
（2）0-t0时间内，回路中产生的感应电动势为 E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△{B}_{t}}{△t}$L•2L=$\frac{2B-B}{{t}_{0}}$•2L2=$\frac{2B{L}^{2}}{{t}_{0}}$
感应电流为 I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{B{L}^{2}}{R{t}_{0}}$
cd棒平衡，由平衡条件有：B1IL=mcdgsinθ
解得：mcd=$\frac{B{B}_{1}{L}^{3}}{gR{t}_{0}sinθ}$．
（3）ab棒进入区域Ⅱ后cd棒仍静止，则cd棒所受的安培力不变，表明回路中感应电流不变，则ab棒作匀速直线运动，设ab匀速运动的速度为v．
则E=BLv，得 v=$\frac{E}{BL}$=$\frac{2L}{{t}_{0}}$
所以ab棒开始下滑至EF的过程中经历的总时间为 t=t0+$\frac{2L}{v}$=2t0；
回路产生总热量：Q=EIt=$\frac{4{B}^{2}{L}^{4}}{R{t}_{0}}$
答：
（1）区域Ⅰ内磁场的方向垂直于斜面向上．0-t0时间内通过ab棒电流的方向从a到b；
（2）cd棒的质量是$\frac{B{B}_{1}{L}^{3}}{gR{t}_{0}sinθ}$；
（3）ab棒开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量是$\frac{4{B}^{2}{L}^{4}}{R{t}_{0}}$．

点评 解决这类问题的关键是弄清电路结构，正确分析电路中的电流以及安培力的变化情况，要注意以cd棒为研究对象，由平衡条件判断出其电流不变，说明回路产生的感应电动势保持不变．

练习册系列答案
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