题目内容

8．如图所示，在x轴上方有垂直于xOy平面向外的足够大匀强磁场（图中没有画出该磁场），一个质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子，在P点以速率v沿与x轴成某一角度射入磁场，然后粒子从Q点离开磁场，P点与Q点关于y轴对称且相距为2a，其中a=$\frac{mv}{2Bq}$（B为磁感应强度，大小未知，不计粒子重力的影响）．
（1）求粒子从P点运动到Q点的时间；
（2）若匀强磁场只在x轴上方某一区域内存在，且磁场边界为圆形，改变粒子的入射方向，使粒子进入磁场位置的横坐标x=-$\frac{a}{2}$，其中a=$\frac{mv}{B'q}$（B′为磁感应强度，大小未知，不计粒子重力的影响），还能保证粒子经过Q点，求粒子进入磁场位置的纵坐标及该圆形磁场区域的最小面积．

分析 （1）根据qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$以及T=$\frac{2πr}{v}$求解半径和周期，根据几何知识知圆心角，从而知运动的时间；
（2）由题意可知：粒子进入磁场前先做一段直线运动，进入磁场后，在洛仑兹力作用下，做一段圆弧运动，而后离开磁场区域，再做一段直线运动到达Q点，画出运动轨迹图，根据几何知识求解．

解答 解（1）粒子进入磁场在洛伦兹力作用下，做部分圆周运动，经过PQ两点的圆弧既可以是优弧也可以是劣弧，则有：
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：r=$\frac{mv}{qB}$=2a
圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{4πa}{v}$
劣弧对应的圆心角为θ：sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{a}{r}$=$\frac{1}{2}$ 得 $θ=\frac{π}{3}$
优弧对应的圆心角θ′：θ′=2π-θ=$\frac{5π}{3}$
粒子运动时间t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{2πa}{3v}$ 或 t=$\frac{θ′}{2π}T$=$\frac{10πa}{3v}$
（2）由题意可知：粒子进入磁场前先做一段直线运动，进入磁场后，在洛仑兹力作用下，做一段圆弧运动，而后离开磁场区域，再做一段直线运动到达Q点，如图所示．设进入磁场点的坐标为（x，y），离子圆周运动的半径为r′．
由B′qv=$\frac{m{v}^{2}}{r′}$  得r′=a
由几何关系得：r′2=x2+（r′cosα）2
tanα=$\frac{y}{a-x}$
x=$\frac{a}{2}$
解得：y=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$
当磁场边界圆的直径为进出磁场点之间的线段时，磁场面积最小对应的半径最小．由对称性可知磁场最小半径$\frac{a}{2}$．
最小面积为s=πr2=$\frac{1}{4}π{a}^{2}$
答：（1）粒子从P点运动到Q点的时间为$\frac{10πa}{3v}$；
（2）若匀强磁场只在x轴上方某一区域内存在，且磁场边界为圆形，改变粒子的入射方向，使粒子进入磁场位置的横坐标x=-$\frac{a}{2}$，其中a=$\frac{mv}{B'q}$（B′为磁感应强度，大小未知，不计粒子重力的影响），还能保证粒子经过Q点，粒子进入磁场位置的纵坐标y=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，该圆形磁场区域的最小面积为$\frac{1}{4}π{a}^{2}$．

点评 以带电粒子在磁场中运动为命题背景，考查学生应用数学知识解决物理问题的能力，关键是会根据qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$以及T=$\frac{2πr}{v}$求解半径和周期，并画出运动轨迹图，熟练应用几何知识求解．

练习册系列答案
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