Question

11．发射卫星过程可简化为：先将卫星发射到离地面高度为h的圆轨道1上，经过Q点时点火进入椭圆轨道2，在P点再次点火进入离地面高度为H的轨道3．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．则求：
①卫星在轨道1上圆周运动时的速度大小；
②卫星轨道1，3的周期之比；
③卫星在轨道2上经过Q、P两点时的加速度之比；
④如果已知轨道3为地球同步轨道，周期为T，H=5.5R（R为地球半径），则求地球密度．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，即可求解运行的速率；卫星加速度由万有引力提供，求出万有引力加速度就可以，在地球表面，重力和万有引力相等，在地球同步卫星轨道，已知卫星的周期求出地球的质量，从而求得地球密度

解答 解：（1）卫星在轨道1上匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
在地球表面重力等于万有引力，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
联立得${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}$
（2）在轨道1上：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}R$
在轨道3上
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+h）$
联立以上两式得$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$
（3）根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$
$\frac{{a}_{Q}^{\;}}{{a}_{P}^{\;}}=\frac{（R+h）_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$
（4）根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（R+H）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+H）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
由题意知H=5.5R
$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}6．{5}_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
M=ρV
$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
联立得$ρ=\frac{3π6．{5}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
答：①卫星在轨道1上圆周运动时的速度大小$\sqrt{gR}$；
②卫星轨道1，3的周期之比$\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+h）_{\;}^{3}}}$；
③卫星在轨道2上经过Q、P两点时的加速度之比$\frac{（R+h）_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$；
④如果已知轨道3为地球同步轨道，周期为T，H=5.5R（R为地球半径），则求地球密度$\frac{3π6．{5}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$．

点评 考查万有引力定律的应用，掌握牛顿第二定律的内容，理解万有引力提供向心力的做匀速圆周运动，注意要结合题意来合理书写向心力表达式．