Question

1．甲、乙两车分别以v_甲=108km/h和v_乙=72km/h的速度在同一直线上向同一方向运动，乙车在前，甲车在后．当两车相s₀=73m时，乙车由于某种特殊情况开始以a_乙=4m/s²的加速度匀减速运动，速度减为零时又立即以同样大小的加速度做匀加速直线运动．乙车开始减速时甲车司机发现了情况，经t₀=1s的反应时间后立即以a_甲=6m/s²的加速度减速一段时间后保持匀速直线运动．为了避免发生相撞事故，甲车匀减速的时间至少多长？

Answer 1

分析 解答该题，首先要分析清楚甲乙两车的运动过程，先分析当乙车的速度为零时，甲乙两车的位移关系，假设此后甲车的速度不变，乙车开始加速运动，判断两车是否会相遇，若不能，说明甲车减速的时间过长，也就是说在乙车速度为零之前，甲车就要做匀速直线运动．求出乙车的速度为零时两车的距离，再结合追击与相遇的中的相遇而不想碰的条件，即可解得该题的结果．

解答 解：v_甲=108km/h=30m/s，v_乙=72km/h=20m/s
当乙的速度为零时，用时为T=20÷4=5s，乙的位移为：s_乙=$\frac{0{-v}_{乙}^{2}}{2{a}_{乙}}$=$\frac{0-2{0}^{2}}{2×（-4）}$=50m，
甲的速度为：v_甲′=30-6×（5-1）=6m/s
此时甲的位移为：s_甲=v_甲t₀+v_甲×（T-1）-$\frac{1}{2}$a_甲（T-1）²=30×1+30×（5-1）-$\frac{1}{2}$×6×（5-1）²=102m
此时有：s_乙+s₀=50+73=123m＞s_甲=102m，此时甲车还没有追上乙车，辆车还相距：s${\;}_{0}^{′}$=s_乙+s₀-s_甲=50+73-102=21m
若从此时刻开始，甲做匀速直线运动，乙开始做匀加速直线运动，当速度相等时，用时为，t′=|$\frac{{v}_{甲}^{′}}{{a}_{甲}}$|=$\frac{6}{4}$=1.5s，甲乙的位移分别为：
s_甲′=v_甲′×$\frac{{v}_{甲}^{′}}{{a}_{甲}}$=6×$\frac{6}{4}$=9m
s_乙′=$\frac{1}{2}×{a}_{乙}×{t}^{′2}$=$\frac{1}{2}×4×1．{5}^{2}$=4.5m，
此时有：（4.5+21）m＞9m，说明此种情况下甲车已经不会再追上乙车，甲车要想能追上乙车，在此之前的某个时刻就要做匀速直线运动．
设甲车开始刹车ts时开始做匀速直线运动，再经过t_xs时与乙车相遇但不相撞，此时甲乙两车的速度相等，
整个过程甲车的位移为：s_甲″=v_甲×t₀+v_甲t-$\frac{1}{2}$a_甲t²+（v_甲-a_甲t）t_x=30×1+30t-$\frac{1}{2}$×6×t²+（30-6t）t_x
乙车的位移为：s_乙″=$\frac{1}{2}$×v_乙×T+$\frac{1}{2}$×a_乙×（t₀+t+t_x-T）=$\frac{1}{2}$×20×5+$\frac{1}{2}$×4×（1+t+t_x-5）
甲乙两车相遇是有关系式：s_甲″=s_乙″+73…①
相遇时速度相等，有：v_甲-a_甲t=4×（t₀+t+t_x-T）
即为：30-6t=4×（1+t+t_x-5）…②
联立①②两式得：t=3.4s或t=5.9s（由前面分析可知，此结果不可能，舍去）
答：为了避免发生相撞事故，甲车匀减速的时间至少为3.4s

点评 两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置．因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出．
分析追及问题的注意一下几点：（1）要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口．
（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动．
（3）仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意速度-时间图象的应用．
同时要注意相遇而不想碰的条件是相遇时速度相同．