Question

20．如图所示为一种获得高能粒子的装置．环行区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的匀强磁场，质量为m、电量为+q的粒子在环中作半径为R的圆周运动．A、B为两块中心开有小孔的极板．原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间电场中得到加速．每当粒子离开B板时，A板电势又降为零．粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变．
（1）设t=0时粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并绕行第一圈．求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能E_n
（2）为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增．求粒子绕行第n圈时的磁感应强度B_n
（3）求粒子绕行n圈所需的总时间t_n（粒子过A、B板间的时间忽略）

Answer 1

分析 （1）抓住绕行一圈电场力做功为qU，结合动能定理求出总动能的大小．
（2）粒子的动能逐渐增加，速度就逐渐增加，由能量可表示出速度，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出第n圈时的磁感应强度B_n．
（3）每圈的半径没有发生变化，由周长和每圈的速度即可求出每圈的时间，然后相累加，即可求得总时间t_n总．

解答 解：（1）粒子绕行一周电场力做功为W=qU，获得的动能为qU，
绕行n圈回到A板时获得的总动能E_k=nqU．
（2）粒子绕行第n圈时，nqU=$\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}$，
粒子受到的洛伦兹力提供向心力，qv_nB_n=m$\frac{{{v}_{n}}^{2}}{R}$，
解得：B_n=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$．
（3）粒子运动的周期表达式为：T_n=$\frac{2πR}{{v}_{n}}$=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$，
粒子绕行第1圈，所用时间为t₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，${B}_{1}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
粒子绕行第2圈，所用时间为t₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，${B}_{2}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×2mU}{q}}$，
粒子绕行第3圈，所用时间为t₃=$\frac{2πm}{q{B}_{3}}$，${B}_{3}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2×3mU}{q}}$，
…
以此类推，粒子绕行第n圈，所用时间为　t_n=$\frac{2πm}{q{B}_{n}}$，${B}_{n}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$，
解得：t_n总=t₁+t₂+t₃+…+t_n=$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}$（$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}$）
答：（1）粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能为nqU．
（2）粒子绕行第n圈时的磁感应强度为$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2nmU}{q}}$．
（3）粒子绕行n圈所需的总时间为$2πR\sqrt{\frac{m}{2qU}}$（$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}$）．

点评 粒子加速器是利用磁场的偏转，使电场能重复对粒子加速，粒子在加速器内旋转时半径是不变化的，所以粒子加速器所加的磁场时要发生变化．速度越来越大，周期越来越小．解决此类问题，常用到能量的转化与守恒、粒子在匀强磁场中的运动半径和周期公式．