Question

20．如图甲所示，两长为2L的金属板MN、PQ平行放置，两板间的距离为L，在两板间加以方向竖直向上的匀强电场，一带正电粒子（不计重力）沿两板中心线O₁O₂从左侧边缘O₁点以某一速度射入，则该粒子恰好能从上极板边缘飞出且在两极板间运动的时间为t₀，若撤去电场，在两板间有一磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场与两板及左侧边缘相切，让粒子仍从O₁点以相同速度射入，恰好垂直于MN板并打在MN板上的A点，如图乙所示．

（1）求两板间的匀强电场E的大小；
（2）若保持磁场不变，让粒子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使粒子从从两板左板左侧极板间射出，则射入的初速度v应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动规律，结合牛顿第二定律与运动学公式，即可求解；
（2）粒子以相同速度入射时，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据半径公式，即可列出半径表达式；当欲使粒子从从两板左板左侧极板间射出，粒子沿半径方向射向磁场，一定沿半径方向离开磁场，根据几何关系画出轨迹，求出半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解初速度．

解答 解：（1）在电场中做类似平抛运动，根据牛顿第二定律，有：
a=$\frac{qE}{m}$
水平方向：2L=v₀•t₀
竖直方向：$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$a${t}_{0}^{2}$
若撤去电场，让粒子仍从O₁点以相同速度射入，恰好垂直于MN板并打在MN板上的A点，

根据半径公式，则有：$\frac{L}{2}$=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
解得：E=$\frac{BL}{4{t}_{0}}$；
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r，粒子恰好从上极板左边缘飞出时速度的偏转角为α，
由几何关系可知：β=π-α=45°，r+$\sqrt{2}$r=R

因为：R=$\frac{L}{2}$，
且r=$\frac{mv′}{qB}$
所以有：v′=$\frac{L}{（\sqrt{2}+1）{t}_{0}}$
所以，粒子两板左侧间飞出的条件为：0＜v＜$\frac{L}{（\sqrt{2}+1）{t}_{0}}$；
答：（1）求两板间的匀强电场E的大小$\frac{BL}{4{t}_{0}}$；
（2）若保持磁场不变，让粒子仍沿中心线O₁O₂从O₁点射入，欲使粒子从从两板左板左侧极板间射出，则射入的初速度v应满足0＜v＜$\frac{L}{（\sqrt{2}+1）{t}_{0}}$条件．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，画出运动轨迹，然后根据牛顿第二定律以及运动学公式列式分析求解．