Question

7．空间竖直边界AB右侧有一紧靠AB边界的直角三角形区域MNO，∠MNO=30°，区域MNO外存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，边界AB右侧所有区域均存在竖直向下的匀强电场，现有两个相同的弹性小球，质量均为m，所带电量为q且电性相同，其中b球静止于∠MON的角平分线上，a球在MNO区域内沿MO边界运动，速度为v，t=0时刻从O点进入磁场，经过一段时间后能与b球发生弹性碰撞，且碰撞时间极短，碰后a与b速度交换，重力加速度为g，
求：（1）a、b所带电荷电性及空间内电场强度；
（2）带电小球b开始静止位置距O点的距离为多少？带电小球a从O点进入磁场区后运动多长时间与b球第一次相碰？
（3）若不改变MNO区域的形状，要求带电小球b从MNO进入磁场后能回到MNO区域，则OM边至少多长？

Answer 1

分析 （1）b球静止，处于平衡状态，应用平衡条件求出电场强度、判断粒子电性．
（2）求出小球在磁场中做匀速圆周运动的时间，然后求出匀速运动的时间，最后求出总的运动时间；
（3）分析清楚小球的运动过程，根据小球做圆周运动的轨道半径，应用几何知识求出OM的边长．

解答 解：（1）b球静止，处于平衡状态，由平衡条件得：mg=qE，解得：E=$\frac{mg}{q}$，
电场方向竖直向上，a、b两粒子都带负电；
（2）a球进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可知，圆周运动对应的弦长：l=$\sqrt{3}$R，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
a球进入MNO区域时速度方向与边界ON的夹角为60°，
此后a球做匀速直线运动，与b球碰撞，
可求得b球距O点的距离：$\frac{\sqrt{3}}{2}$l=$\frac{3}{2}$R=$\frac{3mv}{2qB}$，
a球在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$，
圆弧对应的圆心角为：$\frac{4π}{3}$，运动时间：t₁=$\frac{2}{3}$T=$\frac{4πm}{3qB}$，
穿过ON边界后匀速运动到与b球相碰撞的时间：t₂=$\frac{lsin30°}{v}$=$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$，
带电小球a从O点进入磁场区后运动与b球第一次相碰需要的时间：
t=t₁+t₂=$\frac{4πm}{3qB}$+$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$；
（3）a小球与b球碰撞时，由题意可知，a、b交换速度，此后b球以速度v做匀速直线运动，
b进入磁场后做匀速圆周运动，做圆周运动的轨道半径：R=$\frac{mv}{qB}$，
当b球运动轨迹与AB边界相切时，MNO的面积最小，
此时MO边长为：R+$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\frac{（2+\sqrt{3}）mv}{2qB}$；
答：（1）a、b带负电荷，空间内电场强度大小为$\frac{mg}{q}$，方向：竖直向上；
（2）带电小球b开始静止位置距O点的距离为：$\frac{3mv}{2qB}$，带电小球a从O点进入磁场区后运动时间：$\frac{4πm}{3qB}$+$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$后与b球第一次相碰．
（3）若不改变MNO区域的形状，要求带电小球b从MNO进入磁场后能回到MNO区域，则OM边至少为$\frac{（2+\sqrt{3}）mv}{2qB}$．

点评 本题考查了带电小球在复合场中的运动，对小球正确受力分析，分析清楚其运动过程，应用平衡条件、牛顿第二定律与几何知识可以解题，分析清楚小球的运动过程是正确解题的关键．