Question

如图所示，ab是水平的光滑轨道，bc是与ab相切的位于竖直平面内、半径R=0.4m的半圆形光滑轨道．现在A、B两个小物体之间夹一个被压缩的弹簧（弹簧未与A、B挂接）后用细线拴住，使其静止在轨道ab上．当烧断细线后，A物体被弹簧弹开，此后它恰能沿半圆形轨道通过其最高点c．已知A和B的质量分别为m_A=0.1kg和m_B=0.2kg，重力加速度g取10m/s²，所有物体均可视为质点．求：
（1）A在半圆形轨道的最高点c处时的速度大小；
（2）A刚过半圆形轨道最低点b时，对轨道的压力大小；
（3）烧断细线前，弹簧的弹性势能．

Answer 1

分析：（1）能到达半圆形轨道最高点的临界条件是v≥

gR

，恰好能通过最高点说明在最高点重力完全提供向心力，依此求解即可；
（2）根据机械能守恒可以求出小球在b点时的速度，根据圆周运动在最高点和最低点合力提供向心力求解即可；
（3）烧断细线前后，系统满足动能量守恒和机械能守恒，据此求解即可．

解答：解：（1）设弹簧弹开后B物体与A物体的速度大小分别为v1和v2，A物体在c点的速度大小为v3．由于A恰能过c点，说明A在c点时对轨道无压力，此时由重力提供向心力由牛顿第二定律有mAg=mA

v 2 3

R

代入数据解得v₃=2m/s（1分）
（2）A从b点到c点的过程中，机械能守恒有

1

2

mA

v

2 2

=

1

2

mA

v

2 3

+2mAgR
v2=

v 2 3 +4gR

  代入数据解得v2=2

5

m/s
在b点，轨道对A的支持力F与重力mAg的合力提供向心力
由牛顿第二定律：F-mAg=mA

v 2 2

R

代入数据解得F=6N  
由牛顿第三定律可得A对轨道的压力大小为6N
（3）A、B被弹开的过程中，它们组成的系统动量守恒
有m_Av₂-m_Bv₁=0
代入数据解得v1=

5

m/s
该过程中A、B和弹簧组成的系统机械能守恒
有EP=

1

2

mA

v

2 2

+

1

2

mB

v

2 1

代入数据解得烧断细线前，弹簧的弹性势能E_P=1.5J
答：（1）A在半圆形轨道的最高点c处时的速度大小为v₃=2m/s；
（2）A刚过半圆形轨道最低点b时，对轨道的压力大小为6N；
（3）烧断细线前，弹簧的弹性势能为1.5J．

点评：小球刚好到达圆管形轨道最高点的条件是：到达最高点时速度为零；应用动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律即可正确解题．