Question

19．如图所示，一根匀质绳的质量为M，其两端固定在天花板上的A、B两点．在绳的中点悬挂一质量为m的重物，悬挂重物的绳质量不计，设α、β分别为绳的端点和中点处的切线方向与竖直方向的夹角，则$\frac{tanα}{tanβ}$的大小为（　　）

• A． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{M+m}{m}$
• B． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{M}{m}$
• C． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• D． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M}$

Answer 1

分析 以整体为研究对象，根据平衡条件分析端点处对绳子的拉力与总重力的关系式；对左半边绳子研究，得到端点和中点绳子的拉力的关系式；再采用比例法求解．

解答 解：设绳子端点处和中点处绳子张力分别为F₁、F₂．
对整体研究，根据平衡条件得
    F₁cosα=$\frac{1}{2}（M+m）g$  ①
对左半边绳子研究得
    F₁cosα=F₂cosβ+$\frac{1}{2}Mg$  ②
    F₁sinα=F₂sinβ         ③
由①②得到  F₂cosβ=$\frac{1}{2}mg$  ④
则由③：①得  tanα=$\frac{2{F}_{2}sinβ}{（M+m）g}$⑤
  由③：④得  tanβ=$\frac{2{F}_{1}sinα}{mg}$⑥
所以由③⑤⑥联立得  $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$
故选：C

点评 本题是力平衡问题，难点存在如何选择研究对象和如何运用数学知识变形求解．