题目内容
18．随着我国登月计划“嫦娥工程”的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想．（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力速度为g，月球绕地球运动周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，请求出月球绕地球运动的轨道半径r．
（2）若宇航员登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点，已知月球半径为r月，引力常量为G，请求出月球的质量M月和月球的第一宇宙速度．
分析 （1）在地球表面上重力与万有引力相等，月球绕地球匀速圆周运动万有引力提供圆周运动向心力，据此计算月球运动的轨道半径；
（2）据小球竖直上抛运动的规律求出月球表面的重力加速度．在月球表面上由重力等于万有引力，求月球的质量．由万有引力提供向心力，求月球的第一宇宙速度．
解答 解：（1）在地球表面物体的重力与万有引力相等，有：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg ①
月球绕地球运转时，由地球的万有引力提供圆周运动向心力，有：
G$\frac{M{m}_{月}}{{r}^{2}}$=${m}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r ②
由①②解得：月球绕地球运动的轨道半径 r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）设月球表面处的重力加速度为g月
对竖直上抛小球有：g月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$ ③
在月球表面有：G$\frac{{M}_{月}m}{{r}_{月}^{2}}$=mg月 ④
由③④解得 M月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
由牛顿第二定律，可得：
G$\frac{{M}_{月}m}{{r}_{月}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{月}}$
所以月球的第一宇宙速度为 v=$\sqrt{{g}_{月}{r}_{月}}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{r}_{月}}{t}}$
答：
（1）月球绕地球运动的轨道半径为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的质量M月为$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$，月球的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{r}_{月}}{t}}$．
点评 对于天体运动问题，根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量．另外一个思路是重力等于万有引力，得到GM=gR2，常常称为黄金代换式．
活力课时同步练习册系列答案
2007年10月24日，我国首次成功发射了探月卫星-“嫦娥一号”．卫星在地月转移轨道飞赴月球的过程中，与地球间距增大，与月球间距减小，则（ ）| A． | 地球对它的万有引力增大，月球对它的万有引力减小 | |
| B． | 地球对它的万有引力减小，月球对它的万有引力增大 | |
| C． | 地球和月球对它的万有引力均不变 | |
| D． | 当它绕月球运动时，不再受地球万有引力的作用 |
| A． | V/m | B． | J/C | C． | N/C | D． | C/V |
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
如图所示，用两根绝缘丝线悬挂两个质量相同不带电的小球A和B，此时，上、下丝线的张力分别为TA、TB；如果使A带正电，B带负电，上、下细线的张力分别为TA′，TB′，则（ ）| A． | TA＜TA′ | B． | TA=TA′ | C． | TB=TB′ | D． | TB＜TB′ |
根据a、b、c三个演示实验，回答下列问题：| A． | 研究“嫦娥三号”“奔月”的过程 | |
| B． | 研究奥运冠军邓琳琳在平衡木上的动作 | |
| C． | 研究从斜面上滑下的木块的滑行时间 | |
| D． | 研究运动员发出的弧旋乒乓球的旋转情况 |
