Question

1．如图所示，设AB段是距水平传送带装置高为H=1.25m的光滑斜面，水平段BC使用水平传送带装置，BC长L=5m，与货物包的动摩擦因数为μ=0.4，皮带轮的半径为R₁=0.2m，转动的角度为ω=15rad/s．设质量为m=1kg的小物块由静止开始从A点下滑，经过B点的拐角处无机械能损失．小物块随传送带运动到C点后水平抛出，恰好无碰撞地沿圆弧切线从D点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．D、E为圆弧的两端点，其连线水平．已知圆弧半径R₂=1.0m圆弧对应圆心角θ=106°，O为轨道的最低点．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）试求：

（1）小物块在水平传送带BC上的运动时间；
（2）水平传送带上表面距地面的高度；
（3）小物块经过O点时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）加速下滑过程中只有重力做功，对滑块沿斜面下滑过程运用动能定理列式求解B点速度；小滑块在传送带上先加速后匀速，先受力分析后根据牛顿第二定律求出加速过程的加速度，然后根据速度时间公式求加速时间，再根据平均速度公式求加速位移，再求匀速时间，最后得到总时间；
（2）对于平抛运动，根据速度方向先求出落地时的竖直分速度，然后根据速度位移公式求解出传送带上表面距离地面的高度差；
（3）先根据速度分解的平行四边形定则求出落地时速度，再对从D到O过程运用动能定理列式求出O点速度，最后运用牛顿第二定律求解对轨道最低点压力．

解答 解：（1）小物块由A运动B，由动能定理，有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v_B=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
在传送带滑动过程，由牛顿第二定律，得：
μmg=ma，
解得：a=μg=4m/s²
水平传送带的速度为v₀=R₁ω=3m/s
加速过程，由 v₀=v_B-at₁，得：
t₁=$\frac{{v}_{B}-{v}_{0}}{a}$=$\frac{5-3}{4}$=0.5s
则匀速过程
L₁=$\frac{{v}_{B}+{v}_{0}}{2}$t₁=$\frac{5+3}{2}×0.5$=2m
t₂=$\frac{L-{L}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{5-2}{3}$=1s
故总时间：
t=t₁+t₂=1.5s
（2）小物块从C到D做平抛运动，在D点有：
v_y=v₀tan$\frac{θ}{2}$=3×$\frac{4}{3}$=4m/s
由${v}_{y}^{2}$=2gh，得h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{16}{20}$=0.8m
（3）小物块在D点的速度大小为：
v_D=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5m/s
对小物块从D点到O由动能定理，得：
mgR（1-cos$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$
在O点，由牛顿第二定律，得：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立以上两式解得：F_N=43N
由牛顿第三定律知对轨道的压力为：F_N′=43N
答：（1）小物块在水平传送带BC上的运动时间为1.5s；
（2）水平传送带上表面距地面的高度为0.8m；
（3）小物块经过O点时对轨道的压力为43N．

点评 本题关键是分析清楚物体的运动情况，然后根据动能定理、平抛运动知识、牛顿第二定律、向心力公式列式求解．