Question

3．如图所示，倾角为37°，长为l=16m的传送带，动摩擦因数μ=0.5，在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m=0.5kg的物体．已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）若传送带静止时，物体从顶端A滑到底端B的时间；
（2）若传送带逆时针转动时，转动速度为v=10m/s，则物体从顶端A滑到底端B过程，物块和传送带为系统能产生多少热能．

Answer 1

分析 （1）传送带静止时，先由牛顿第二定律求出物体的加速度，再由位移公式求时间．
（2）若传送带逆时针转动时，物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始匀加速下滑，当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tan37°，物体在重力作用下将继续加速下滑，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”；根据牛顿第二定律求出两段的加速度，再根据速度时间关系求两段过程的时间；根据运动学公式求解物体与传送带间的相对位移，摩擦产生的热量等于摩擦力与相对位移的乘积，即Q=f•△S．

解答 解：（1）若传送带静止时，根据牛顿第二定律得
   mgsin37°-μmgcos37°=ma 　　
所以：a=gsin37°-μgcos37°=2m/s²
由l=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得 t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s．
（2）若传送带逆时针转动时，开始阶段，由牛顿第二定律得：
  mgsin 37°+μmgcos37°=ma₁ 　　
所以：a₁=gsin37°+μgcos37°=10m/s²
物体加速至与传送带速度相等时需要的时间：
  t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=1s；
物体发生的位移：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=5m＜16m，所以物体加速到10m/s 时仍未到达B点，此时摩擦力方向改变．
第二阶段，由牛顿第二定律有：
  mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
所以：a₂=2m/s²
设第二阶段物体滑动到B的时间为t₂ ，则：
  l-x₁=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
解得：t₂=1s
第一阶段物体的速度小于皮带速度，物体相对于皮带向上移动，相对位移大小为：
△x₁=vt₁-x₁=10×1-5=5m
第二阶段物体的速度大于皮带速度，物体相对于皮带向下移动，相对位移大小为：
△x₂=（l-x₁）-vt₂=（16-5）-10×1=1m
因此物体与传送带的相对路程为△S=△x₁+△x₂=6m，故物体与传送带摩擦产生的热量：
 Q=f•△S=μmgcos37°•△S=0.5×0.5×10×0.8×6=12J
答：
（1）若传送带静止时，物体从顶端A滑到底端B的时间是4s．
（2）物体从顶端A滑到底端B过程，物块和传送带为系统能产生12J的热能．

点评 从本题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻，注意热量等于摩擦力与相对路程的乘积，即Q=f•△S．