Question

14．悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下 端有一个质量为m、带电荷量为+q的金属小球1，若在空间加一匀强电场，则小球1静止时细线与竖直方向的夹角θ=60°，如图所示．若在某时刻突然撤去电场，小球1向下摆动，当其运动到最低点时，细线刚好被撞断，小球1与放在绝缘水平面上B处（O点正下方）的质量和大小与小球1完全一样的不带电金属小球2发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰撞时电荷量不损失．已知绝缘水平面是光滑的，且在C处固定有一电荷量为-Q的点电荷（假设此点电荷对小球不起作用），碰后小球会沿BC连线向固定点电荷运动，到D点时速度大小为v=$\sqrt{2gL}$，已知细线的长及B、C两点间的距离均为L，静电力常数为k，不计两小球间电场力．求：
（1）所加匀强电场的电场强度的最小值和方向；
（2）细线能够承受的最大拉力；
（3）已知点电荷周围某点电势计算公式为φ=$\frac{kQ}{r}$（取无穷远处电势为零，Q为点电荷所带电荷量，r为该点到点电荷的距离），求B、D两点间的电势差及C、D两点间距离．

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，受重力、电场力和拉力，小球保持静止，受力平衡，先根据平衡条件确定电场力最小的临界情况，然后求解最小电场力；
（2）在某时刻突然撤去电场，小球小角度摆动，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解最低点速度；在最低点，小球受重力和拉力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解细线的拉力；再根据牛顿第三定律得到小球对细线的拉力．
（3）根据能量守恒，结合题中信息解答即可．

解答 解：（1）对小球受力分析，受重力、电场力和拉力，如图所示：

从图中可以看出，当电场力方向与细线垂直时，电场力最小，电场强度最小，根据共点力平衡条件，有：
 mgsinθ=qE _min
解得：E_min=$\frac{mgsin60°}{q}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{2q}$，方向与水平方向成60°斜向右上方．
（2）某时刻突然撤去电场，小球小角度摆动，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律，有：
 mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
得 v_B=$\sqrt{gL}$
在最低点，小球受重力和拉力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
联立解得：细线能够承受的最大拉力 T=2mg
（3）小球从B到D，由动能定理得：
  qU_BD=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
将v_D=v=$\sqrt{2gL}$，代入得：
B、D两点间的电势差 U_BD=$\frac{mgL}{2q}$
设CD间距离为r，据题意有：D点电势为 φ_D=$\frac{kQ}{r}$，B点电势为 φ_B=$\frac{kQ}{L}$
又 U_BD=φ_B-φ_D，联立解得 r=$\frac{2kQqL}{2kQq-mg{L}^{2}}$
答：
（1）所加匀强电场的电场强度的最小值是=$\frac{\sqrt{3}mg}{2q}$，方向与水平方向成60°斜向右上方．
（2）细线能够承受的最大拉力是2mg；
（3）B、D两点间的电势差是$\frac{mgL}{2q}$，CD间距离是$\frac{2kQqL}{2kQq-mg{L}^{2}}$．

点评 本题第一问先通过图解法分析出电场力最小的方向，然后根据共点力平衡条件求解出电场力的最小值，得到最小电场强度；要准确把握题中的信息，明确电势与距离的关系、电势与电势差的关系．