题目内容

2．一电阻为R的金属圆环，放在匀强磁场中，磁场与圆环所在平面垂直，如图（a）所示．已知通过圆环的磁通量随时间t的变化关系如图（b）所示，图中的最大磁通量φ0和变化周期T都是已知量，求：
（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$的时间内，通过金属圆环某横截面的电荷量q．
（2）在t=0到t=T的时间内，金属环内电流的变化规律．
（3）在t=0到t=T的时间内，金属环内所产生的电热Q．

分析 线圈平面垂直处于匀强磁场中，当磁感应强度随着时间均匀变化时，线圈中的磁通量发生变化，从而导致出现感应电动势，产生感应电流．由楞次定律可确定感应电流方向，由法拉第电磁感应定律可求出感应电动势大小．而产生的电量由q=It，求解，而产生的热量则是由焦耳定律求出．

解答 解：（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$ 的时间内，由法拉第电磁感应定律公式E=N$\frac{△∅}{△t}$，得：
E=$\frac{{∅}_{0}-0}{\frac{T}{4}}$=$\frac{4{∅}_{0}}{T}$
由闭合电路殴姆定律得：
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{4{∅}_{0}}{RT}$
由电量由q=It=$\frac{4{∅}_{0}}{RT}$×$\frac{T}{4}$=$\frac{{∅}_{0}}{R}$；
（2）在t=0到t=T的时间内，从$\frac{T}{4}$到$\frac{T}{2}$、$\frac{3T}{4}$到T，由于磁通量不变，无感应电流；
从$\frac{T}{2}$到$\frac{3T}{4}$，磁感应强度的变化率绝对值相等，故关于电流等大、反向，为I′=$\frac{4{∅}_{0}}{RT}$；
作出t=0到t=T的时间内金属圆环中电流与时间的关系图线，如图所示：

（3）在t=0到t=T的时间内，从$\frac{T}{4}$到$\frac{T}{2}$、$\frac{3T}{4}$到T，由于磁通量不变，所以金属环不发热．
而从0到$\frac{T}{4}$金属环产生的热量与从$\frac{T}{2}$到$\frac{3T}{4}$ 金属环产生的热量是相等的．
则有Q1=I2R$\frac{T}{4}$=$\frac{4{∅}_{0}^{2}}{RT}$
所以Q=2Q1=$\frac{8{∅}_{0}^{2}}{RT}$；
答：（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$的时间内，通过金属圆环的电流大小为$\frac{{∅}_{0}}{R}$；
（2）t=0到t=T的时间内金属圆环中电流与时间的关系图线如上图所示；
（3）在t=0到t=T的时间内，金属环所产生的电热Q为$\frac{8{∅}_{0}^{2}}{RT}$．

点评 本题考查楞次定律来判定感应电流方向，由法拉第电磁感应定律来求出感应电动势大小．当然本题还可求出电路的电流大小，及电阻消耗的功率．同时磁通量变化的线圈相当于电源．注意在磁通量不变时，金属环没有电流，则无热量．

练习册系列答案
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