Question

18．如图所示，一个矩形线圈的ab、cd边长为L₁，ad、bc边长为L₂，线圈的匝数为N，线圈处于磁感应强度为B的匀强磁场中，并以OO′为中轴做匀速圆周运动，（OO′与磁场方向垂直，线圈电阻不计），线圈转动的角速度为ω，设转动从中性面开始计时，请回答下列问题：
（1）写出该线圈产生交流电的电动势随时间变化的表达式．
（2）将线圈产生的交流电通入电阻为R的电动机时，形成的电流有效值为I，请计算该电动机的输出的机械功率（其它损耗不计）．
（3）用此电动机将竖直固定的光滑U型金属框架上的水平导体棒EF从静止向上拉，已知导体棒的质量为m，U型金属框架宽为L且足够长，内有垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B₀，导体棒上升高度为h时，经历的时间为t，且此时导体棒刚开始匀速上升且速度为v₀，棒有效电阻为R₀，金属框架的总电阻不计，棒与金属框架接触良好，求t时间内导体棒与金属框架产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）矩形线圈的ab、cd切割磁感线，根据感应电动势公式e=BLvsinα推导感应电动势瞬时值表达式．
（2）根据能量守恒定律得到：电动机的输出的机械功率P_机=P_入-P_Q=UI-I²R，U是电压有效值．
（3）①电机带导体棒匀速上升时，电动机的牵引力与导体棒的重力和安培力的合力平衡，推导导体棒匀速上升时的速度和已知量的关系式．
②对导体棒，电动机牵引力做正功，安培力和重力做负功，根据动能定理列方程，求出导体棒克服安培力做的功，即导体棒与金属框架产生的焦耳热．

解答 解：
（1）
如图所示，边长L₁切割磁感线产生电动势
e₁=BL₁V_⊥=BL₁Vsinωt
而线速度V=$\frac{{L}_{2}ω}{2}$
则e₁=BL₁$\frac{{L}_{2}ω}{2}$sinωt
因有线圈两个边切割，且有N匝
所以e=2Ne₁=NBL₁L₂ωsinωt
即：e=E_msinωt，其中E_m=NBL₁L₂ω．
（2）电流通过电动机时，输入的功率
P_入=UI=$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I
由能量守恒知：
P_入=P_Q+P_机
∴机械功率P_机=$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R
（3）①电机带导体棒匀速上升．受力如图
由平衡条件得 F=B₀IL+mg
又I=$\frac{{B}_{0}Lv}{{R}_{0}}$，F=$\frac{P}{v}$
得到$\frac{P}{v}$=mg+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{0}}$
即：$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R=mgv+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{0}}$v
②对上升h应用动能定理：
Pt-W-mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²-0
得 Q=W=Pt-mgh-$\frac{1}{2}$mv₀²
Q=（$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R）t-mgh-$\frac{1}{2}$mv₀²
答：
（1）证明见上．
（2）电动机的输出的机械功率为$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R．
（3）①导体棒匀速上升时的速度和已知量的关系是$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R=mgv+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{0}}$v．
②t时间内导体棒与金属框架产生的焦耳热是（$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$I-I²R）t-mgh-$\frac{1}{2}$mv₀²

点评 本题问题较多，所用物理知识并不复杂，主要是电磁感应、电路、磁场和力学知识，只要基本功扎实，并不困难．要注意明确电磁感应中的能量转化的分析．