Question

（10分）如图所示，质量为的汽车以恒定功率从点由静止出发，先沿着长度为，倾角为的斜面运动到（其受到的阻力为车重倍），随后沿着长度为的水平面运动到（其受到的阻力为车重倍）。若和足够长，汽车在、段最后均可达到匀速行驶。求：

（1）汽车在段和段达到匀速行驶时，其速度和分别为多大？耗时分别为多少？
（2）为了省油，汽车发动机在段至少还需工作多久才能到达点。
（3）若汽车可先沿着长度为的水平面运动（其受到的阻力为车重倍），随后沿着长度为，倾角为的斜面运动到点（其受到的阻力为车重倍）。为简单计，设，请问与原路径相比，哪个更省时，为什么？

Answer 1

（1），；
，
（2）或0
（3）车沿新路径到更省时

试题分析：（1）、在区间，汽车可达到匀速，由力学知识可得
   （1分）
耗时，由（1分）
    （1分） 
在段：达到匀速时，同理
           （1分） 
则耗时，由
（1分）
可以求出
    （1分）           
（2） 因为汽车在区间速度已经达到匀速，若以为初速滑行汽车不能达到点。假设汽车发动机在段至少还需工作时间，才能使得汽车恰好能到达点。根据动能定理：
（1分）
求出
  （1分）                     
若汽车以为初速汽车滑行能达到点，则，汽车发动机在段工作时间为                                                
（3）两个路径中汽车克服阻力做功相同。根据动能定理，
       （1分） 
可知汽车到达点，末速度越大，汽车发动机工作时间越长。汽车沿原路径到达点，最后车速为，而汽车沿新路径到点，末速度为。因为 
所以汽车沿原路径耗时更多。  （1分）
点评：难题。汽车以恒定功率加速时，牵引力是变力，这类问题求位移或时间要用到动能定理。