Question

4．如图所示，在x轴上方有一竖直向下的匀强电场区域，电场强度大小为E=60V/m．x轴下方分布有多个磁感应强度大小为B=1T的条形匀强磁场区域，其宽度均为d₁=3cm，相邻两磁场区域的间距为d₂=4cm．现有一质量为m=6×10^-13kg，电荷量为q=1×10^-8C的带正电粒子（不计重力）．
（1）将带电粒子从y轴上坐标为y₁处以平行于x轴的某一初速度射入电场区域，带电粒子运动经过x轴上坐标值为x₁的Q点时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，且刚好不会穿出第一个匀强磁场区域，求y₁和x₁．
（2）若粒子从y轴上坐标为（0，50cm）的点处由静止释放，求自释放到粒子第二次过x轴的时间．

Answer 1

分析 （1）根据粒子刚好不会穿出第一个匀强磁场区域，画出运动轨迹，由几何关系找到圆周运动的半径，求出圆周运动的速度即为类平抛运动的末速度，根据运动的分解求出水平分速度和竖直分速度，由速度公式和位移公式即可求出y₁和x₁；
（2）粒子由静止释放，先在电场中做匀加速直线运动，进入磁场中做圆周运动，进入无磁场区域做匀速直线运动，画出粒子运动的轨迹，根据几何关系求出在磁场中运动的半径和圆心角，结合圆周运动的周期公式和匀变速直线运动的位移与时间公式，即可求出运动的总时间．

解答 解：（1）刚好不会穿出第一匀强磁场区域，画出运动的轨迹如图，

    由几何关系：R（1-cos60°）=d₁
    解得：R=2d₁=6cm，
    带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
    解得：v=1×10³m/s
    带电粒子经过Q点时沿y轴方向的分速度：${v}_{y}=vsin60°=5\sqrt{3}×1{0}^{2}m/s$
     由$a=\frac{Eq}{m}$
     ${v}_{y}^{2}=2a{y}_{1}$
    联立解得：y₁=0.375m=37.5cm
    带电粒子经过Q点时沿x轴方向的分速度：${v}_{x}=vcos60°=5×1{0}^{2}m/s$
    由${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$解得$t=5\sqrt{3}×1{0}^{-4}$s
    ${x}_{1}={v}_{x}t=5×1{0}^{2}×5\sqrt{3}×1{0}^{-4}m=25\sqrt{3}cm$
    （2）当带电粒子从y₂=50cm的位置由静止释放后，先在电场中加速，加速时间t₁满足${y}_{2}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，
     解得：${t}_{1}=1×1{0}^{-3}s$
     设粒子进入磁场时的速度大小为v₂，在磁场中做圆周运动的轨道半径为R₂，
     由动能定理有：$qE{y}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
     解得：v₂=1×10³m/s；
    
    由$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，解得R₂=6cm，
    根据带电粒子在空间运动的轨迹可知，它最低能进入第二个磁场区域，
    带电粒子经过第一个无磁场区域时运动方向与x轴的夹角θ满足：$cosθ=\frac{{d}_{1}}{{R}_{2}}=0.5$ 
    解得：θ=60° 
    利用几何关系可知，带电粒子在磁场区域运动的总时间为半个圆周的运动时间：
    ${t}_{2}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}•\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{2}}=6π×1{0}^{-5}s$
    带电粒子在无磁场区域的路程为：$s=\frac{2{d}_{2}}{sinθ}=\frac{4\sqrt{3}}{75}m$
    运动时间：${t}_{3}=\frac{s}{{v}_{2}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}×1{0}^{-5}s$
    带电粒子自释放到第二次过x轴的时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=1.28×1{0}^{-3}$s
    
答：（1）y轴上坐标为y₁=37.5cm，x轴上坐标值为${x}_{1}=25\sqrt{3}cm$．
      （2）粒子自释放到第二次过x轴的时间为1.28×10^-3s．

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中的运动及其相关的知识点，意在考查学生灵活运用运动的分解和合成、动能定理、牛顿运动定律及其相关知识解决问题的能力．运动过程较多，综合性较强，对作图能力要求较高，准确画出运动轨迹，并通过运动轨迹找几何关系，是解决这类问题的关键．