Question

17．如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，在引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h．已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G．设距地面高度为h的圆轨道上卫星运动周期为T₀．下列结论正确的是（　　）

• A． 导弹在C点的速度大于$\sqrt{\frac{GM}{（R+h）}}$
• B． 导弹在C点的加速度等于$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
• C． 导弹从A点运动到B点的时间一定小于T₀
• D． 距地面高度为h的圆轨道上卫星在C点的引力等于导弹沿ACB椭圆轨道在C点的引力

Answer 1

分析 距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度，根据牛顿第二定律得到其运动速度．C为轨道的远地点，导弹在C点的速度小于运动速度．由牛顿第二定律求解导弹在C点的加速度．根据开普勒定律分析导弹的焦点．由开普勒第三定律分析导弹的运动时间与${T}_{0}^{\;}$的关系

解答 解：A、设距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度为v，则由牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$，解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，导弹在C点只有加速才能进入卫星的轨道，所以导弹在C点的速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，故A错误；
B、由牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=ma$，得导弹在C点的加速度等于$\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}$，故B正确；
C、设导弹运动的周期为T，由于导弹的半长轴小于卫星的轨道半径R+h，根据开普勒第三定律知道：导弹运动的周$T＜{T}_{0}^{\;}$，则导弹从A点运动到B点的时间一定小于${T}_{0}^{\;}$，故C正确；
D、根据万有引力定律$F=G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}$，因为不知道卫星质量与导弹质量大小关系，所以在距地面高度为h的圆轨道上卫星在C点的引力不一定等于导弹沿ACB椭圆轨道在C点的引力，故D错误；
故选：BC

点评 本题运用牛顿第二定律、开普勒定律分析导弹与卫星运动问题．比较C在点的速度大小，可以结合卫星变轨知识来理解．