题目内容

15．北斗卫星组网完成后，将由5颗静止的地球卫星和130颗非静止轨道卫星组成，发射地球同步卫星时，可以先将卫星发射到距地面高度为h1的近地圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后椭圆轨道的远地点B再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示，已知同步卫星的运行周期为T，地球的半径速度为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求：
（1）卫星在近地点A时卫星内质量为m1的仪器所受的力
（2）远地点B距离地面的高度．

分析 （1）卫星在近地点A时卫星内质量为m1的仪器只受万有引力，等于向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）在同步轨道，卫星的万有引力提供向心力，再结合地面重力加速度公式g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$列式求解即可．

解答 解：（1）卫星在近地点A时卫星内，质量为m1的仪器只受万有引力，为：
F=${m}_{1}（R+{h}_{1}）{ω}^{2}$=$\frac{4{π}^{2}（R+{h}_{1}）{m}_{1}}{{T}^{2}}$
（2）在同步轨道，卫星的万有引力提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$ 
在地面：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$ 
联立解得：
$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
答：（1）卫星在近地点A时卫星内质量为m1的仪器所受的力为$\frac{4{π}^{2}（R+{h}_{1}）{m}_{1}}{{T}^{2}}$；
（2）远地点B距离地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 本题关键是明确卫星的受力情况和运动情况，然后根据牛顿第二定律列式求解，注意只有地面的重力加速度为g．

练习册系列答案
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