Question

11．如图，竖直平面坐标系xoy的第一象限，有垂直xoy面向外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B和E；第四象限有垂直xoy面向里的水平匀强电场，大小也为E；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N．质量为m的带电小球从y轴上（y＞0）的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O，水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点水平进入第四象限，并在电场中运动（已知重力加速度为g）．
（1）判断小球的带电性质并求出其所带电荷量；
（2）P点距坐标原点O至少多高；
（3）若该小球以满足（2）中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N点开始计时，则经时间t=4$\sqrt{\frac{R}{g}}$小球距坐标原点O的距离s为多远？（结果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）小球进入第一象限正交的 电场和磁场后，在垂直磁场的 平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡从而判定小球的电性和电量．
（2）设匀速圆周运动的 速度为v、轨道半径为r由洛伦兹力提供向心力；小球恰能通过半圆轨道的 最高点并沿轨道运动，则应满足重力恰好提供向心力，联立即可求出P点距坐标原点O至少多高；
（3）小球由O运动到N的过程中由机械能守恒，小球从N点进入电场区域后，在绝缘光滑水平面上作类平抛运动．根据运动的类型，写出相应的公式，就可以求解．

解答 解：（1）小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡．设小球所带电荷量为q，则有：qE=mg①
解得：$q=\frac{mg}{E}$②
又电场方向竖直向上故小球带正电．
（2）设匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r，由洛伦兹力提供向心力得：qv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$…③
小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道内侧运动，则应满足：$mg=\frac{m{v}^{2}}{r}$…④
由③④得：$r=\frac{{m\sqrt{gR}}}{qB}$…⑤
即得PO的最小距离为：$y=2r=\frac{2E}{B}\sqrt{\frac{R}{g}}$…⑥
（3）小球由O运动到N的过程中，设到达N点的速度为v_N，由机械能守恒得：$mg•（2R）=\frac{1}{2}mv_N^2-\frac{1}{2}m{v^2}$…⑦
由④⑦解得：${v_N}=\sqrt{5gR}$
小球从N点进入电场区域后，在绝缘光滑水平面上作类平抛运动．设加速度为a，则有：
沿x轴方向：x=v_Nt…⑧
沿电场方向：$z=\frac{1}{2}a{t^2}$…⑨
由牛顿第二定律得：$a=\frac{qE}{m}$
t时刻小球距O点为：$s=\sqrt{{x^2}+{z^2}+{{（2R）}^2}}=2\sqrt{37}R$
答：（1）小球的带正电，其所带电荷量是$\frac{mg}{E}$；
（2）P点距坐标原点O至少是$\frac{2E}{B}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（3）若该小球以满足（2）中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N点开始计时，则经时间t=4$\sqrt{\frac{R}{g}}$小球距坐标原点O的距离s为$2\sqrt{37}R$．

点评 该题中，设置的情景比较复杂，运动的过程较多，一定要理清运动的过程和各个过程中的受力以及做功的情况，再选择合适的公式进行解题．