Question

16．“神州”六号飞船在预定轨道上飞行，每绕地球一圈需要时间90min，每圈飞行路程约为L=4.2×10⁴km．
（1）试根据以上数据估算地球的质量和密度．（地球的半径R约为6.37×10³km，万有引力常量G取6.67×10^-11N•m²/kg²）
（2）假设飞船沿赤道平面自西向东飞行，飞行员会看到太阳从东边还是西边出来？如果太阳直射赤道，试估算飞行员每天能看到多少次日出日落？飞船每转一圈飞行员看不见太阳的时间有多长？（已知cos 18.2°=0.95）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，其中r=$\frac{L}{2π}$，化简可得地球的质量．根据密度的定义式求得密度．
（2）地球自西向东旋转，飞船沿赤道平面自西向东飞行的速度大于地球旋转速度，飞行员会看到太阳从东边出来．结合几何关系即可求出飞船每转一圈飞行员看不见太阳的时间有多长．

解答 解：（1）每圈飞行路程约为L=4.2×10⁴km，
由L=2πr可得  r=$\frac{L}{2π}$=6.68×10³km，
飞船绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$=6.0×10²⁴kg，
根据密度的定义式得
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=5.6×10³kg/m³．
（2）地球自西向东旋转，飞船沿赤道平面自西向东飞行的速度大于地球旋转速度，飞行员会看到太阳从东边出来．地球自转的周期为24h，90min=1.6=5h
地球自转一周，飞船运转：$\frac{24}{1.5}=16$圈，飞船运转一圈能看到一次日出日落，所以飞行员每天能看到16次日出日落．
飞船转到地球的背影区飞行员就看不到太阳（如图所示）．由图可知sinα=$\frac{R}{r}$=0.95，
则α=71.8°
飞行员每转一圈看不见日出的时间为t=$\frac{71.8°×2}{360°}×90min$=36min
答：（1）地球的质量是6.0×10²⁴kg，密度是5.6×10³kg/m³．
（2）飞行员会看到太阳从东边出来，如果太阳直射赤道，飞行员每天能看到16次日出日落；飞船每转一圈飞行员看不见太阳的时间有36min．

点评 解答本题知道飞船所受的万有引力提供向心力，利用周期与轨道半径表示向心力，然后结合万有引力定律求解．