Question

19．如图所示为一传送带装置模型，固定斜面的倾角为θ=37°，底端经一长度可忽略的光滑圆弧与足够长的水平传送带相连接，可视为质点的物体质量m=3kg，从高h=1.2m的斜面上由静止开始下滑，它与斜面的动摩擦因数μ₁=0.25，与水平传送带的动摩擦因数μ₂=0.4，已知传送带以υ=5m/s的速度逆时针匀速转动，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，不计空气阻力．求：

（1）物体从滑上传送带到第一次离开传送带的过程中与传送带间的摩擦生热值；
（2）物体第一次离开传送带后滑上斜面，它在斜面上能达到的最大高度；
（3）从物体开始下滑到最终停止，物体在斜面上通过的总路程；（提示：物体第一次滑到传送带上运动一段时间以后又回到了斜面上，如此反复多次后最终停在斜面底端．）

Answer 1

分析 （1）先根据动能定理求出物体第一次滑到斜面底端时的速度．由牛顿第二定律求出物体在传送带上滑行的加速度大小，由速度公式求出物体向右运动的时间，从而求物体与传送带间的相对位移，再求摩擦生热．
（2）由速度公式求出物体第一次离开传送带时的速度，再由动能定理求它在斜面上能达到的最大高度．
（3）物体会最终停在斜面的底端．对全过程应用动能定理，可求物体在斜面上通过的总路程．

解答 解：（1）设物体第一次滑到底端的速度为υ₀，根据动能定理有：$mgh-{μ_1}mgcos37°•\frac{h}{sin37°}=\frac{1}{2}mυ_0^2$
解得：υ₀=4m/s
在传送带上物体的加速度大小为：$a=\frac{{{μ_2}mg}}{m}={μ_2}g=4m/{s^2}$
物体运动到传送带最右端时的时间为：${t_1}=\frac{υ_0}{a}=1s$
依题意物体会返回到传送带左端，由运动的对称性知返回时间为t₁，则从滑上传送带到第一次离开传送带经历的时间为：t=2t₁
物体的位移为0，物体相对传送带的位移即传送带的位移为：x=υt=υ×2t₁=10m
则摩擦产生的热量为：Q=μ₂mgx=120J
（2）物体第一次返回到左端的速度为：υ′=at₁=4m/s=υ₀
物体以υ₀的初速度从底端冲上斜面达最大高度，设最大高度为h_m，由动能定理得：$-mg{h_m}-{μ_1}mgcos37°•\frac{h_m}{sin37°}=0-\frac{1}{2}mυ_0^2$
解得：h_m=0.6m
（3）物体会最终停在斜面的底端．对全过程应用动能定理得：mgh=μ₁mgcos37°•s
代入数据解得物体在斜面上通过的总路程为：s=6m
答：
（1）物体从滑上传送带到第一次离开传送带的过程中与传送带间的摩擦生热值是120J；
（2）物体第一次离开传送带后滑上斜面，它在斜面上能达到的最大高度是0.6m；
（3）从物体开始下滑到最终停止，物体在斜面上通过的总路程是6m．

点评 解决本题的关键理清物体在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律、运动学公式和动能定理进行求解，知道物体在传送带上运动的过程中，摩擦力做功的代数和为零．