Question

18．如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m．轨道的MN′端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R₀=0.5m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m，且其右边界与NN′重合．现有一质量m=0.20kg、电阻r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab通过半圆形轨道的最高点PP′后落到距NN′为S’=1.0m处．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g=10m/s²，求：
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；
（2）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）先有动能定理求出进入磁场时的速度，导体棒进入磁场时金属杆切割磁感线，产生感应电流．由法拉第定律和欧姆定律可求得感应电流大小．
（2）杆ab离开轨道后做平抛运动，根据平抛运动的规律可求得杆通过PP′时的速度．回路中机械能转化为内能，根据能量守恒定律求出电路中产生的焦耳热．

解答 解：（1）设导体杆在 F 的作用下运动到磁场的左边界时的速度为v₁，根据动能定理则有：
 （F-μmg）s=$\frac{1}{2}$mv₁²   
得：v₁=$\sqrt{\frac{2（F-μmg）s}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×（2-0.1×0.2×10）×2}{0.2}}$m/s=6m/s
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为：
  E=Blv₁=0.64×0.5×6V=1.92V
此时通过导体杆的电流大小为：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{1.92}{0.4+0.1}$A=3.84A
根据右手定则可知，电流方向为b向a．
（2）设导体杆离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点的速度为v₃．
杆ab离开轨道后做平抛运动，则有
  s′=v₃t
  2R₀=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 v₃=$\sqrt{5}$m/s  
对于导体杆从NN′运动至 PP′的过程，根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₃²+mg•2R₀ 
解得：v₂=$\sqrt{5g{R}_{0}}$=5.0m/s                          
导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为：△E=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$×0.2×（6²-5²）J=1.1J 
此过程中电路中产生的焦耳热为：
 Q=△E-μmgd=1.1J-0.1×0.2×10×0.8J=0.94J 
答：
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为3.84A，电流方向为b向a；
（2）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热为0.94J．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，综合了电磁感应、电路、力学等知识．关键运用力学的规律进行分析和解答．