题目内容

3．如图所示，宽度为L的粗糙平行金属导轨PQ和P′Q′倾斜放置，顶端QQ′之间连接一个阻值为R的电阻和开关S，底端PP′处与一小段水平轨道用光滑圆弧相连．已知底端PP′离地面的高度为h，倾斜导轨处在垂直于导轨平面的匀强磁场（图中未画出）中．若断开开关S，将一根质量为m、电阻为r、长为L的金属棒从AA′处静止开始滑下，金属棒落地点离PP′的水平距离为x1；若闭合开关S，将金属棒仍从AA′处静止开始滑下，则金属棒落地点离PP′的水平距离为x2．不计导轨电阻，忽略金属棒经过PP′处的能量损失，重力加速度为g，求：
（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小；
（2）比较前后两次金属棒与导轨摩擦产生的热量大小；
（3）开关闭合时，金属棒在下滑过程中产生的焦耳热．

分析 （1）金属棒离开底端PP′后，做平抛运动，已知水平距离和高度，根据平抛运动的知识，可以求出棒开底端PP′的速度大小；
（2）金属棒与导轨摩擦产生的热量等于克服摩擦力做功．由功能关系解答．
（3）开关闭合后，金属棒下滑时，需要克服安培力做功产生焦耳热，根据能量守恒定律求解．

解答 解：（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小为v1，在空中运动的时间为t，则：
 x1=v1t
 h=$\frac{1}{2}$gt2；
可得：v1=x1$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）金属棒与导轨摩擦产生的热量等于克服摩擦力做功，前后两次金属棒所受的滑动摩擦力不变，通过的位移不变，克服摩擦力做功相等，所以前后两次金属棒与导轨摩擦产生的热量相等．
（3）开关断开时，在金属棒沿倾斜导轨下滑的过程中，重力做功为WG，摩擦力做功为Wf．
根据动能定理：WG+WF=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
开关闭合时，金属棒离开底端PP′的速度：v2=x2$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
在金属棒沿倾斜导轨下滑的过程中，重力做功和摩擦力做功与开关断开时相同，安培力做功为W安，系统产生的焦耳热为Q，
由动能定理可得：WG+Wf+W安=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
又因为Q=|W安|
金属棒产生的焦耳热 Qr=$\frac{r}{R+r}$Q
联立上述方程可得：Qr=$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（${x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}$ ）．
答：（1）开关断开时，金属棒离开底端PP′的速度大小是x1$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）前后两次金属棒与导轨摩擦产生的热量大小相等；
（3）开关闭合时，金属棒在下滑过程中产生的焦耳热是$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（${x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}$ ）．

点评 本题首先要掌握平抛运动的研究方法，其次能运用能量守恒定律求解热量，都是常用的思路，平时要多加强这方面的练习，熟练掌握．

练习册系列答案
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