Question

15．甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度v₁做匀速直线运动，后一半时间内以速度v₂做匀速直线运动；乙车在前一半路程中以速度v₁做匀速直线运动，后一半路程中以速度v₂做匀速直线运动（v₁≠v₂），
（1）通过公式推导判断是哪辆车先到达目标？
（2）若v₁=4m/s，v₂=6m/s，请求出两次运动全程的平均速度各为多少．

Answer 1

分析 （1）根据平均速度的定义式分别求出整个过程中的平均速度，通过比较平均速度的大小比较运动时间．
（2）代入数据，求出两次全程的平均速度大小．

解答 （1）对甲车：设用时为t，则前一半时间内的位移为：x₁=$\frac{{v}_{1}t}{2}$，后一半时间内的位移为：x₂=$\frac{{v}_{2}t}{2}$，
$\overline{v}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}=\frac{{v}_{1}\frac{t}{2}+{v}_{2}\frac{t}{2}}{t}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$．  
对乙车：设整段位移为x，则前一半位移用时为：t₁=$\frac{\frac{x}{2}}{{v}_{1}}$，
后一半位移用时为：t₂=$\frac{\frac{x}{2}}{{v}_{2}}$，
$\overline{{v}_{乙}}=\frac{x}{{t}_{1}+{t}_{2}}=\frac{x}{\frac{\frac{x}{2}}{{v}_{1}}+\frac{\frac{x}{2}}{{v}_{2}}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，
则$\overline{v}$_甲-$\overline{v}$_乙=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}-\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}=\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}＞0$，
故$\overline{v}$_甲＞$\overline{v}$_乙，甲车先到．
（2）代入数据得：$\overline{{v}_{甲}}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}=\frac{4+6}{2}m/s=5m/s$，
$\overline{{v}_{乙}}=\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}=\frac{2×4×6}{10}m/s=4.8m/s$．
答：（1）甲车先到．
（2）两次运动全程的平均速度各为5m/s、4.8m/s．

点评 本题考查了平均速度的定义式运用，知道平均速度等于位移与时间的比值，比较平均速度大小时，可以通过数学作差法比较，基础题．