Question

12．如图所示，光滑水平面MN的左端M处有一弹射装置P，右端N处与水平传送带恰平齐且很靠近，传送带沿逆时针方向以恒定速率v=5m/s匀速转动，水平部分长度L=4m．放在水平面上的两相同小物块A、B（均视为质点）间有一被压缩的轻质弹簧，弹性势能E_P=4J，弹簧与A相连接，与B不连接，B与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，物块质量m_A=m_B=1kg．现将A、B由静止开始释放，弹簧弹开，在B离开弹簧时，A未与P碰撞，B未滑上传送带．取g=10m/s²．求：

（1）B滑上传送带后，向右运动的最远处（从地面上看）与N点间的距离s_m；
（2）B从滑上传送带到返回到N点的时间t和这一过程中B与传送带间因摩擦而产生的热能Q；
（3）若B与被弹射装置P弹回的A再次作用后又滑上传送带，则P必须给A做多少功才能使B从Q端滑出．

Answer 1

分析 （1）弹簧弹开的过程中，系统机械能守恒，结合动量守恒，解得A和B的速度，B滑上传送带做匀减速运动，当速度减为0时，向右运动的距离最大，由动能定理即可求解；
（2）物块B先向右做匀减速运动，直到速度减小为0，然后反方向做匀加速运动，到皮带左端时速度大小仍为v_B由动量定理解出运动时间，分别求出B向右匀减速运动因摩擦力而产生的热能和向左匀加速运动因摩擦力而产生的热能，进而求出总热能．
（3）B能从Q端滑出的条件是B到达后速度大于等于零，然后根据功能关系列方程可正确解答．

解答 解：（1）弹簧弹开的过程中，系统的机械能守恒，则有
  E_p=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_B²
取向左为正方向，由动量守恒定律得：
  m_Av_A-m_Bv_B=0
联立以上两式解得：v_A=2m/s，v_B=2m/s
B滑上传送带做匀减速运动，当速度减为0时，向右运动的距离最大．
由动能定理得：-μm_Bgs_m=0-$\frac{1}{2}$m_Bv_B²
解得：s_m=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2μg}$=1m
（2）物块B先向右做匀减速运动，直到速度减小为0，然后反方向做匀加速运动，
到皮带左端时速度大小仍为 v_B=2m/s
由动量定理得：-μm_Bgt=-m_Bv_B-m_Bv_B
解得：t=$\frac{2{v}_{B}}{μg}$=$\frac{2×2}{0.2×10}$s=2s
B向右匀减速运动因摩擦力而产生的热能为：
   Q₁=μm_Bg（$\frac{vt}{2}$+s_m）
B向左匀加速运动因摩擦力而产生的热能为：
  Q₂=μm_Bg（$\frac{vt}{2}$-s_m）
因摩擦而产生的总热能为 Q=Q₁+Q₂=μm_Bgvt=0.2×1×10×5×2J=20J
（3）设弹射装置给A做功为W，则有：$\frac{1}{2}$m_Aυ_A′²=$\frac{1}{2}$m_Aυ_A²+W
AB碰后速度互换，B的速度：υ_B′=υ_A′
B要滑出平台Q端，由能量关系有：
   $\frac{1}{2}$m_Bυ_B′²≥μm_BgL
又 m_A=m_B
由以上四式联立，解得：W≥μm_BgL-$\frac{1}{2}$m_Aυ_A²
代入数据解得：W≥6J
答：（1）B滑上传送带后，向右运动的最远处（从地面上看）与N点间的距离s_m是1m．
（2）B从滑上传送带到返回到N点的时间t是2s，这一过程中B与传送带间因摩擦而产生的热能Q是20J；
（3）若B与被弹射装置P弹回的A再次作用后又滑上传送带，则P必须给A做6J功才能使B从Q端滑出．

点评 解决本题的关键要分析清楚两个物体的运动情况，把握隐含的临界条件，再分段由牛顿定律、运动学公式和动量守恒定律，能量守恒定律研究．