Question

11．图示为一个四星系统，依靠四颗星间的相互作用，维持稳定的运动状态，其中三颗质量均为m的星体A、B、C等间隔分布在半径为r的圆轨道上并做同向的圆周运动，质量为M的星体D在圆轨道的圆心上，该星体的半径为R，另外三颗星体的半径可以忽略不计，求：
（1）星体C做圆周运动的向心力大小；
（2）星体C做圆周运动的周期．

Answer 1

分析 星体间的引力可根据万有引力定律求解．星体C做圆周运动的向心力由其他三个星体引力的合力提供．根据向心力公式求解周期．

解答 解：（1）星体C做圆周运动的向心力由其他三个星体引力的合力提供，所以星体C做圆周运动的向心力大小为：
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+2•$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$•cos30°=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{r}^{2}}$．
（2）对于C，万有引力做圆周运动的向心力，即F=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$．
答：（1）星体C做圆周运动的向心力大小为$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{r}^{2}}$；
（2）星体C做圆周运动的周期为2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$．

点评 解决本题的关键掌握在四颗星组成的四星系统中，ABC中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．