Question

3．一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，绕行n圈用时为t．假设宇航员在火星表面以初速度v水平抛出一小球，经过时间t₁恰好垂直打在倾角α=30°的斜面体上，已知引力常量为G，则火星的质量为（　　）

• A． $\frac{3{v}^{3}{t}^{4}}{16G{t}_{1}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}{v}^{3}{t}^{4}}{16G{{t}_{1}}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
• C． $\frac{3{v}^{2}{t}^{4}}{16G{t}_{1}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}{v}^{2}{t}^{4}}{16G{{t}_{1}}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$

Answer 1

分析 小球垂直落在斜面上时速度方向与竖直方向之间的夹角是α，利用速度的合成与分解可以求出火星表面附近的重力加速度g；再根据重力等于向心力，求得火星的半径．根据万有引力等于重力，求解火星的质量．

解答 解：据题小球垂直落在斜面上时速度方向与竖直方向之间的夹角是α，则落在斜面上时竖直分速度为 
v_y=vcotα=$\sqrt{3}v$
又v_y=gt₁
解得火星表面附近的重力加速度为：g=$\frac{\sqrt{3}v}{{t}_{1}}$
设火星的半径为R，质量为M．一卫星绕火星表面附近做匀速圆周运动，绕行n圈用时为t，则周期为$T=\frac{t}{n}$
根据重力等于向心力，得：mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}}{{t}^{2}}R$
根据万有引力等于重力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$ 
联立解得：M=$\frac{3\sqrt{3}{v}^{3}{t}^{4}}{16G{{t}_{1}}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
故选：B．

点评 该题把平抛运动与万有引力相结合，关键要抓住重力等于向心力、万有引力等于重力这两个基本思路，求解天体的质量．