Question

8．如图所示，已知∠AOC=30°，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T，边界OD与OC之间分布有竖直向下的匀强电场，电场强度大小E=$\frac{2}{3}$×10⁴V/m，边界OA上有一粒子源S，距离O点为2$\sqrt{3}$m．某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子，所有粒子的初速度大小相同，均为v=1×10⁴m/s，粒子的质量m=1×10^-19kg，电荷量q=1×10^-15C，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．（不计粒子的重力及粒子间的相互作用）
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径．
（2）在S处沿OA方向（水平向右）发射的粒子能否从边界OC射出？若不能射出，请说明理由；若能射出，请求出射出的位置距O点的距离．
（3）最先到达边界OC的粒子从距O点多远处再次进人磁场？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求得轨道半径．
（2）过S作OA的垂线交OC于M，根据SM与轨道半径的关系，即可作出判断．
（3）最先到达边界OC的粒子在磁场中运动时间最短，粒子运动轨迹对应的弦最短，由几何关系分析．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 R=$\frac{mv}{qB}$=1m
（2）粒子能从边界OC射出．
过S作OA的垂线交OC于M．$\overline{SM}$=$\overline{OS}$tan30°=2m，恰好等于2R，所以水平向右发射的粒子恰好运动半周到达OC边界，M即为粒子从边界OC射出的点（见图2）．
  $\overline{OM}$=$\frac{\overline{SM}}{sin30°}$=4m
（3）过S作OC的垂线，垂足为P，由图3知SP为粒子磁场中运动轨迹对应的最短弦长，因为圆周运动的周期为定值，所以最先到达边界OC的粒子将从P点射出．
则$\overline{PJ}$=$\frac{vt}{cos30°}$=2m
所以 $\overline{OJ}$=$\overline{OP}$-$\overline{PJ}$=$\overline{OS}$cos30°-$\overline{PJ}$=1m
答：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径为1m．
（2）在S处沿OA方向（水平向右）发射的粒子能从边界OC射出，射出的位置距O点的距离是4m．
（3）最先到达边界OC的粒子从距O点1m远处再次进人磁场．

点评 画出粒子的运动轨迹是解决本题的关键，要明确粒子在磁场中运动的周期是定值，运动时间与轨迹对应的圆心角有关，此圆心角最小时运动时间最短．