Question

如图所示，两个质量均为4m的小球A和B由轻弹簧连接，置于光滑水平面上．一颗质量为m子弹，以水平速度v₀射入A球，并在极短时间内嵌在其中．求:在运动过程中

（1）什么时候弹簧的弹性势能最大，最大值是多少？

（2）A球的最小速度和B球的最大速度．

Answer 1

（1）当两球速度相等时，弹簧的弹性势能最大；

（2）V_Amin ，V_Bmax

解析:

解：子弹与A球发生完全非弹性碰撞，子弹质量为m，A球、B球分别都为M，当子弹射入A球并嵌入其中的过程中B球可以看为速度没有发生变化，子弹与A球作为一系统，以子弹入射前为初态、子弹和A球有共同速度为末态.根据动量守恒定律有

mv₀= (m+M)V　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

子弹、A球一起向右运动，弹簧因被压缩而产生弹力．A球开始减速，B球开始加速；当两球速度相等时，弹簧压缩量达到最大值，此时弹簧的弹性势能最大；接着，弹簧开始伸长，弹力继续使B加速而使A减速；当弹簧恢复到原长时，B球速度达到最大值，A球速度达到最小值；然后，弹簧又开始伸长，使A球加速，使B球减速．当两球速度相等时弹簧的伸长量达到最大（此时弹簧的弹性势能与压缩量最大时的弹性势能相等）……如此反复进行.所以，两球的速度达到极值的条件——弹簧形变量为零．

（1）以子弹、A球、B球作为一系统，以子弹和A球有共同速度为初态，子弹、A球、B球速度相同时为末态，则

（m+M）V= (m+M+M)V′　　　　　　　　　　　　　　　②

　　　　　　　　③

M＝4m    解得　　　　　　　　　　　 　　④

（2）以子弹和A球有共同速度为初态，子弹和A球速度最小、B球速度最大为末态则

（m+M）V= (m+M)V_A+MV_B⑤

       　　 　　　　　⑥

解得　　　　　　　　　　　　　　　　⑦

或＝v₀　　　　 ＝0　　　　　　　　　　　　　  ⑧

根据题意求A球的最小速度和B球的最大速度，所以V_Amin ，V_Bmax