Question

19．如图所示，PCD为竖直面内的光滑绝缘轨道，其中PC段水平，CD段为半圆形轨道，整个轨道处于与竖直方向夹角为θ=60°斜向右下方的匀强电场中，场强大小为E=$\frac{2mg}{q}$，一与电场方向平行的光滑斜面固定在水平面上，其底端与轨道平面由微小圆弧连接．一带电荷量为+q的金属小球甲，从距离地面高为H的A点由静止开始沿斜面滑下，与静止在C点的不带电金属小球乙发生碰撞并交换速度．已知甲、乙两小球大小相同，质量均为m，水平轨道PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$H，不考虑两球之间的静电力，小球与轨道间无电荷转移，碰撞瞬间两球电荷均匀分布，g取10m/s²
（1）求甲球与乙球碰撞时的速度大小；
（2）甲、乙两球碰撞后，若乙球第一次沿半圆形轨道上升过程中不脱离轨道，则轨道的半径R应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）将小球的运动分为从A点到P点和从P点到C点两个阶段，分别分析，利用动能定理列式，求出甲球在C点的速度就是甲球与乙球碰撞时的速度大小；
（2）找出乙球在最高点需要满足的条件，由动能定理求出最高点速度，最后解出轨道的半径R应该满足的条件；

解答 解：（1）甲球从A点运动到P点的过程，电场力和重力做正功，由动能定理得
$qE•\frac{H}{cosθ}+mgH=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
甲球在从P点运动到C点的过程中，电场力在水平方向的分力对小球做正功，由动能定理得
$qEsinθ•\frac{2\sqrt{3}}{3}H=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得v_C=$\sqrt{14gH}$；
（2）乙球第一次沿半圆形轨道上升过程中不脱离轨道，则在最高点速度需满足$mg+\frac{q}{2}Ecos60°≤m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
而从C运动到D阶段，由动能定理得$-\frac{q}{2}Ecosθ•2R-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得R≤$\frac{28}{15}H$；
答：（1）甲球与乙球碰撞时的速度大小为$\sqrt{14gH}$；
（2）甲、乙两球碰撞后，若乙球第一次沿半圆形轨道上升过程中不脱离轨道，则轨道的半径R应该满足R≤$\frac{28}{15}H$．

点评 本题结合电场考查了动能定理和圆周运动，第（2）问解题的关键是寻找临界条件，平时做题需要多总结常见的临界条件．根据临界条件列式求解即可．