Question

如图所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上．开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当速度达到最大时，C也刚好同时离开地面，此时B还没有到达滑轮位置．已知：m_A=1.2kg，m_B=1kg，m_c=1kg，滑轮与杆子的水平距离L=0.8m．试求：
（1）弹簧的劲度系数
（2）A、B的最大速度是多少．

Answer 1

分析：（1）当A速度达到最大时，加速度等于0，此时C刚好同时离开地面，那么对B和C整体可求出绳子拉力，根据几何关系求得B上升高度．B上升的高度等于开始与此时弹簧形变量之和，由胡克定律求解弹簧的劲度系数．
（2）对于物体A、B、C以及弹簧组成系统，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，根据机械能守恒定律和两物体的速度关系列式求解即可．

解答：解：（1）当A速度达到最大时，即加速度等于0的时候，此时C也刚好同时离开地面，那么对B和C整体分析只有绳子拉力和重力，因此此时绳子拉力   
   T=m_Bg+m_Cg=2×10N=20N
A下降过程受力分析如图

当A的速度最大加速度等于0时，即Tcosθ=m_Ag，计算得：θ=53°
假设A下降的高度为h，则根据几何关系可得：tanθ=

L

h

，
带入得：h=

3

4

L=0.6m
根据几何关系如上图，A下降0.6m时定滑轮到A的距离为 s=

L

sin53°

=1m
那么绳子拉长的长度也就是B上升的高度就是h_B=s-L=0.2m
初始状态，绳子无张力，对B分析有kx₁=m_Bg，弹簧的压缩量 x₁=

10

k

末状态，C刚好离开地面，对C分析有kx₂=m_Cg，即弹簧的伸长量 x₂=

10

k

根据几何关系得：x₁+x₂=h_B
代入计算得：2×

10

k

=0.2
解得 k=100N/m
（2）由第二问可知，初状态弹簧压缩x₁=

10

k

=0.1m和末状态弹簧拉伸x₂=

10

k

=0.1m，弹簧弹性势能没有变化，那么在此过程中ABC和弹簧组成的系统机械能守恒，有
  E_p=m_Bg（x₁+x₂）-m_Agh+

1

2

mB

v

2 B

+

1

2

mA

v

2 A

+E_p
有几何关系可得AB的速度关系有 v_Acosθ=v_B
带入计算得v_A=

2 15

3

m/s，v_B=

2 15

5

m/s，
答：
（1）弹簧的劲度系数为100N/m．
（2）A、B的最大速度分别是

2 15

3

m/s、

2 15

5

m/s．

点评：本题关键分析清楚物体的运动规律，然后根据平衡条件和机械能守恒定律以及胡克定律列式后联立求解即可．