题目内容
美国宇航局宣布他们在太阳系外发现了一颗类似地球的、可适合人类居住的行星--“开普勒-22b”．随着科学技术的迅速发展，设想某一天，同学们登上该星球并做如下实验：实验装置如图甲从轨道AB上高度H的光滑轨道由倾斜轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量为m0﹦0.2kg的小球，从轨道AB上高度为H的高处某点静止释放，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变高度H的大小，可测出相应的F大小，F随H变化的关系如图乙所示，万有引力常量G﹦6.67×10-11N?m2/kg2．求：
（1）若该行星的半径R﹦5000km．该行星的质量M；
（2）在（1）问的前提下，若已知质量为m的飞船距该行星中心距离为r处的引力势能表达式为EP﹦-
，将质量为m=2000kg的飞船，从该行星上发射到距离行星表面的高度h=5000km的圆轨道上，火箭至少要对飞船做多少功？（为简化计算不考虑行星自转对发射的影响，计算结果保留3位有效数字）
（1）若该行星的半径R﹦5000km．该行星的质量M；
（2）在（1）问的前提下，若已知质量为m的飞船距该行星中心距离为r处的引力势能表达式为EP﹦-
| GMm | r |
分析：（1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小球对轨道C点的压力与H的关系式，然后结合F-H图线求该行星表面的重力加速度．
（2）飞船绕该行星做圆周运动需要的向心力由万有引力提供G
=m
，解得速度，故在轨道r上的动能为Ek=
mv2，根据功能关系W=Ek+Ep，代入数据计算即可．
（2）飞船绕该行星做圆周运动需要的向心力由万有引力提供G
| Mm |
| r2 |
| v2 |
| r |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）小球过C点时满足F+mg=m
又根据mg（H-2r）=
mvC2
联立解得F=
H-5mg
由题图可知：H1=0.5 m时F1=0；H2=1.0 m时F2=5 N；
可解得g=5 m/s2
在该行星表面的物体受到的重力等于万有引力G
=mg
所以该行星的质量M=
=
kg=1.87×1024kg
（2）飞船绕该行星做圆周运动需要的向心力由万有引力提供G
=m
解得v=
，故在轨道r上的动能为Ek=
mv2=
根据功能关系火箭至少要对飞船做功为W=Ek+Ep=
+
=
=3.74×1010J
答：（1）该行星的质量M为1.87×1024kg；（2）火箭至少要对飞船做功为3.74×1010J．
| vc2 |
| r |
又根据mg（H-2r）=
| 1 |
| 2 |
联立解得F=
| 2mg |
| r |
由题图可知：H1=0.5 m时F1=0；H2=1.0 m时F2=5 N；
可解得g=5 m/s2
在该行星表面的物体受到的重力等于万有引力G
| Mm |
| R2 |
所以该行星的质量M=
| R2g |
| G |
| (5000×103)2×5 |
| 6.67×10-11 |
（2）飞船绕该行星做圆周运动需要的向心力由万有引力提供G
| Mm |
| r2 |
| v2 |
| r |
解得v=
|
| 1 |
| 2 |
| GMm |
| 2r |
根据功能关系火箭至少要对飞船做功为W=Ek+Ep=
| GMm |
| 2r |
| GMm |
| r |
| 3GMm |
| 2r |
答：（1）该行星的质量M为1.87×1024kg；（2）火箭至少要对飞船做功为3.74×1010J．
点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．
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