Question

4．北京时间2012年6月16日18点37分，神州九号飞船成功发射，已知神州九号飞船绕地球作匀速圆周运动时的轨道半径为r，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，求：
（1）地球的第一宇宙速度
（2）神州九号飞船沿圆周轨道绕地球运行时的线速度
（要求用所给已知量表示结果）

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）在地球表面，根据重力等于万有引力列式；对卫星根据万有引力等于向心力列式；最后联立即可求解．

解答 解：（1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，故：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
v=$\sqrt{gR}$
（2）神州九号飞船沿圆周轨道绕地球做匀速圆周运动，故：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$   ①
在地球表面，重力等于万有引力，故：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$    ②
联立解得：
v₁=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$
答：（1）地球的第一宇宙速度为$\sqrt{gR}$；
（2）神州九号飞船沿圆周轨道绕地球运行时的线速度为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．