题目内容

如图所示，半径为R的1/4光滑圆弧支架竖直放置，支架底AB离地的距离为2R，圆弧边缘C处有一光滑的小定滑轮，一根跨过定滑轮、足够长的轻绳，两端分别系着可视为质点的质量分别为m1与m2的物体，m1紧靠小定滑轮，且m1＞m2．开始时m1、m2均静止．
（1）为使m1释放后能到达A点，m1与m2之间必须满足什么关系？
（2）如果m1=2m2，试求m1释放后经过圆弧最低点A时的速度大小．
（3）若质量为m的m1到达圆弧最低点时绳突然断开，求m1落地时重力的功率．
分析：（1）为使m1能到达A点，则要求其速度大于等于零即可．m1释放后到经过最低点A点的过程中，根据m1与m2组成系统，机械能守恒求解．
（2）两个物体构成的系统只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒；同时绳子不可伸长，沿着绳子方向的分速度相等；
（3）根据平抛运动的规律和瞬时功率的表达式求解．
解答：解：（1）根据题意得m1释放后到经过最低点A点的过程中，
m2上升的高度为
2
R，
为了使m1释放后能到达A点，根据m1与m2组成系统，机械能守恒有：
m1gR-m2g?
2
R≥0，
解得：m1≥
2
m2．
（2）设m1运动到最低点时速度为v1，此时m2的速度为v2，速度分解如图，

沿着绳子方向的速度相等，得：v2=v1sin45°  
由m1与m2组成系统，机械能守恒，有m1gR-m2g?
2
R=
1
2
m1
v
2
1
+
1
2
m2
v
2
2

解得：v1=2
(2-
2
)gR
5

（3）绳突然断开，m1做平抛运动，设m1落地时竖直方向的速度大小为vy，
根据运动学公式得：
v
2
y
=2g?2R
m1落地时重力的功率P=mgvy
联立解得：P=2mg
gR
．
答：（1）为使m1释放后能到达A点，m1与m2之间必须满足m1≥
2
m2，
（2）如果m1=2m2，m1释放后经过圆弧最低点A时的速度大小是2
(2-
2
)gR
5
．
（3）若质量为m的m1到达圆弧最低点时绳突然断开，m1落地时重力的功率是2mg
gR
．
点评：本题关键是单个物体机械能不守恒，但两个物体系统机械能守恒；同时要明确通过绳子、轻杆连接的物体，沿着绳子、杆子方向的分速度一定相等．
练习册系列答案
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如图所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同的速率进入轨道，A通过最高点C时，对轨道的压力为3mg，B通过最高点C时，对轨道的压力恰好为零，求：
（1）A、B两球从C点飞出的速度分别为多少？
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如图所示，半径为R的vt-sB=l光滑圆弧轨道竖直放置，底端与光滑的水平轨道相接，质量为m的小球B静止光滑水平轨道上，其左侧连接了一轻质弹簧，质量为m的小球A自圆弧轨道的顶端由静止释放，重力加速度为g，小球可视为质点．
求：（1）小球A滑到圆弧面底端时的速度大小．
（2）小球A撞击轻质弹簧的过程中，弹簧的最大弹性势能为多少．
精英家教网如图所示，半径为R的
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圆弧支架竖直放置，支架底ab离地的距离为4R，圆弧边缘C处有一小定滑轮，一轻绳两端分别系着质量分别为m1与m2的物体，挂在定滑轮两边，切m1＞m2，开始时m1、m2均静止，切m1、m2视为质点（不计一切摩擦），求：
（1）m1经过圆弧最低点a时的速度；
（2）若m1到最低点时绳断开，m1与m2之间必须满足什么关系？
精英家教网如图所示，半径为R的半圆轨道BC竖直放置．一个质量为m 的小球以某一初速度从A点出发，经AB段进入半圆轨道，在B点时对轨道的压力为7mg，之后向上运动完成半个圆周运动恰好到达C点．试求：
（1）小球上升过程中克服阻力做功；
（2）小球从C点飞出后，触地时重力的功率．
精英家教网如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（　　）
A、
μgr
B、
μg
C、
g
r
D、
g
μr

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