Question

11．船在d=100米宽的河中横渡，河水流速是v₁=1.5m/s，船在静水中的航速是v₂=2.5m/s，试求：
（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处？最短时间是多少？
（2）要使船航程最短，船头应指向上游，其与河岸夹角为多大？最短航程的时间为多少．

Answer 1

分析 船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短．由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：（1）船头方向与河岸垂直时船到达对岸的时间最短；
最短时间为t，$t=\frac{d}{v_2}$，
得t=40s
（2）船头方向应斜指向上游（设船头方向与上游方向成θ）时航程最短为100m
cosθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$，
解得：θ=53°
渡河时间是t'=$\frac{d}{{v}_{合}}$
由勾股定理可得 v_合=2m/s，所以t'=50s
答：（1）要使船到达对岸的时间最短，船头应垂直河岸，最短时间是40s；
（2）要使船航程最短，船头应指向上游，其与河岸夹角为53°，最短航程的时间为50s．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度．