Question

8．已知月球探测器在距月球表面高为h的轨道围绕月球做匀速圆周运动的周期为T．月球视为半径为R的均匀球体，引力常量为G，求：
（1）月球的质量；
（2）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求月球质量
（2）根据万有引力等于向心力和重力等于万有引力联立求第一宇宙速度

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）月球的近地卫星的速度等于第一宇宙的速度
G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{R{T}_{\;}^{2}}}$
答：（1）月球的质量$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{R{T}_{\;}^{2}}}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．