Question

如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v₀的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板滑行的距离s将发生变化，重力加速度为g．
（1）求小物块与木板间的动摩擦因数；
（2）当θ角满足什么条件时，小物块沿木板上滑的距离最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析：（1）θ=30°时，可视为质点的小木块恰好能沿着木板匀速下滑，根据平衡条件列方程求出摩擦因数；
（2）根据牛顿第二定律得出速度的表达式，然后根据位移公式得到上滑距离S的表达式，结合数学知识求S的极值．

解答：解：（1）当θ=30⁰时，对木块受力分析得：
mgsinθ=μF_N…①
F_N=mgcosθ…②
联立①②得：μ=tanθ=tan30°=

3

3

         
（2）当θ变化时，则有：mgsinθ+μmgcosθ=ma
木块的位移S为：v₀²=2as
s=

v02

2g(sinθ+μcosθ)

=

v02

2g 1+μ2sin(θ+α)

令：tanα=μ
当θ+α=90°时，S最小，此时有：θ=60°
故有：S_min=

v02

2g(sin60°+μcos60°)

=

3 v02

4g

答：（1）小物块与木板间的动摩擦因数

3

3

；
（2）当θ=60°时，小物块沿木板上滑的距离最小，此最小值为

3 v02

4g

．

点评：本题第二问中求加速度和位移是物理学中的常规问题，关键是由数学三角函数知识求极值，要重视数学方法在物理中的应用．