题目内容
在22世纪末，一宇航员乘宇宙飞船到达一半径为r的某星球地面，（该星球地面的重力加速度g未知）．他将所带的一个如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率从半圆管下入口处进入管内，测得A通过最高点C后，从C点平抛飞落到水平面上耗时为T．测得B通过最高点C时，对管壁上下部的压力均为0，还测得A、B两球落地点间的水平距离差为4R，且A球射出C点时的速度vA大于B球射出C点时的速度vB，已知万有引力恒量为G，忽略该星球的自转，球的体积公式为V=
πr3．求：
（1）该星球地面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为多大？
| 4 |
| 3 |
（1）该星球地面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为多大？
（1）A球从C点作平抛运动，则有：2R=
gT2…①
得出该星球地面的重力加速度：g=
…②
（2）根据万有引力等于物体在该星球上的重力，即：G
=mg…③
星球的密度为：ρ=
…④
球的体积公式为：V=
πr3…⑤
联立②～⑤式，得：ρ=
…⑥
（3）A球在最高点C时，受重力和管壁对A的压力，这两个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，有：F+mg=m
…⑦
同样，B球在C点由重力提供向心力，由牛顿第二定律，有：mg=m
…⑧
A、B两球落地点间的水平距离差为4R，有：vAT-vBT=4R…⑨
联立②⑦⑧⑨式得：F=
…⑩
答：（1）该星球地面的重力加速度为
；
（2）该星球的密度为ρ=
；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为
．
| 1 |
| 2 |
得出该星球地面的重力加速度：g=
| 4R |
| T2 |
（2）根据万有引力等于物体在该星球上的重力，即：G
| Mm |
| r2 |
星球的密度为：ρ=
| M |
| V |
球的体积公式为：V=
| 4 |
| 3 |
联立②～⑤式，得：ρ=
| 3R |
| πGT2r |
（3）A球在最高点C时，受重力和管壁对A的压力，这两个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，有：F+mg=m
| ||
| R |
同样，B球在C点由重力提供向心力，由牛顿第二定律，有：mg=m
| ||
| R |
A、B两球落地点间的水平距离差为4R，有：vAT-vBT=4R…⑨
联立②⑦⑧⑨式得：F=
| 32mR |
| T2 |
答：（1）该星球地面的重力加速度为
| 4R |
| T2 |
（2）该星球的密度为ρ=
| 3R |
| πGT2r |
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为
| 32mR |
| T2 |
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