题目内容

【题目】一足球运动员自点向球门的点踢出球，已知、之间的距离为，球自向的运动可视为水平地面上的匀速直线运动，速率为．另一足球运动员到连线的距离为，到、两点的距离相等．运动员踢出球后，运动员以匀速沿直线去拦截该球．设运动员开始出发去拦截球的时刻与球被运动员踢出的时刻相同．

（1）如果运动员能拦截到球，求运动员开始出发去拦截球直至拦截到球的时间间隔、球被拦截时球到点的距离、球到运动员出发点的距离和运动员运动的方向与、连线的夹角；

（2）求为了使运动员能拦截到球，、、和应当满足的条件．

【答案】（1）；；；

（2）

【解析】

（1）记运动员踢出球的时刻为零时刻．设运动员沿着与、连线夹角为的方向运动，球在时刻被运动员拦截．令球被拦截时球到点和运动员到出发点的距离分别为和，则①②

由几何关系有③④

从③④式消去，并利用①②式得⑤

此即⑥

这是关于的一元二次方程。解为

⑦

由①②⑦式得⑧

⑨

由④⑨式得⑩

（2）方程⑥有实数解的条件是或

依题意有条件要求，当，当

值得注意的是，利用⑩式条件可写成

它是自动满足的。综上所述，式即运动员2拦截到球的条件。

当式中大于号成立时，运动员2可在两处拦截到球；当中等号成立时，

⑦⑧⑨⑩式成为

运动员2只能在一处拦截到球。

练习册系列答案
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