Question

9．如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使细线刚刚伸直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，斜面倾角为θ=37°，重力加速度为g，滑轮的质量和摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．C释放后沿斜面下滑，当A刚要离开地面时，B的速度最大，（sin 37°
=0.6，cos 37°=0.8）求：
（1）从开始到物体A刚要离开地面的过程中，物体C沿斜面下滑的距离；
（2）C的质量；
（3）A刚要离开地面时，C的动能．

Answer 1

分析 （1）物体C沿斜面下滑的距离等于B上升的高度，等于弹簧原来被压缩的长度再加上后来弹簧被拉长的长度，由胡克定律求解．
（2）物体A刚要离开地面时，分别以B和C为研究对象，利用牛顿第二定律列式，可求得C的质量．
（3）物体A刚好离开地面时，B、C两物体的速度相等，对BC整体，运用动能定理求解C的动能．

解答 解：（1）设开始时弹簧压缩的长度为x_B，则有
   kx_B=mg
设当物体A刚要离开地面时，弹簧的伸长量为x_A，则有
  kx_A=mg
当物体A刚要离开地面时，物体B上升的距离与物体C沿斜面下滑的距离相等，为：
   h=x_A+x_B
解得：h=$\frac{2mg}{k}$．
（2）物体A刚要离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kx_A、细线的拉力F_T三个力的作用，设物体B的加速度为a，根据牛顿第二定律：
对B有：F_T-mg-kx_A=ma
对C有：m_Cgsin θ-F_T=m_Ca
B获得最大速度时，有：a=0
解得：m_C=$\frac{10m}{3}$．
（3）法一：由于x_A=x_B，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，且物体A刚好离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v₀，由动能定理得：
  m_Cghsinθ-mgh+W_弹=$\frac{1}{2}（m+{m}_{C}）{v}_{0}^{2}$-0
其中，W_弹=0
解得：v₀²=$\frac{12m{g}^{2}}{13k}$
所以 E_kC=$\frac{1}{2}{m}_{c}{v}_{0}^{2}$=$\frac{20{m}^{2}{g}^{2}}{13k}$
法二：根据动能定理，
对C：m_Cghsinθ-W_r=E_kC-0  
对B：W_r-mgh+W_弹=E_kB-0
其中W_弹=0 
又E_kC：E_kB=10：3
解得：E_kC=$\frac{20{m}^{2}{g}^{2}}{13k}$
答：
（1）从开始到物体A刚要离开地面的过程中，物体C沿斜面下滑的距离是$\frac{2mg}{k}$；
（2）C的质量是$\frac{10m}{3}$；
（3）A刚要离开地面时，C的动能是$\frac{20{m}^{2}{g}^{2}}{13k}$．

点评 本题关键是分析求出系统的运动状态，把握住弹簧的形变量与物体a下滑距离的关系，结合动能定理和胡克定律多次列式求解分析．