题目内容

4．如图示，质量m=lkg的弹性小球A在长为l=0.9m的细轻绳牵引下绕O点在竖直平面内做圆周运动，圆周的最高点为P．小球A在竖直平面内完成圆周运动过程中，由于该空间存在某种特殊物质，使得小球A在竖直平面内每转动一周都会损失一部分动能，每次损失的动能均为它每次经过P点时动能的19%．水平槽内有许多质量均为M=5kg的弹性钢球，水平槽末端有一极小的立柱刚好在P点，钢球可以静止在立柱上，现小球在顶点P以v0=25m/s的初速度向左转动，小球A每次转动到P点恰好与静止在此处的小钢球发生弹性正碰，钢球水平飞出做平抛运动．每次钢球被小球A碰撞后，槽内填充装置可将下一个钢球自动填充到P点的立柱且静止．已知水平槽距水平地面的高度恰好是1.8m，水平槽不会影响弹性小球A的运动，小球均可视为质点，重力加速度g=10m/s2，求：
（1）第一次碰撞结束时弹性小球A和被碰钢球的速度各为多大；
（2）小球A能碰出去的钢球个数；
（3）第一个钢球与最后一个钢球落地后的水平距离．

分析 （1、2）对小球碰撞过程由动量守恒定律及机械能守恒定律可求得碰后的速度大小，分析整体过程，得出通项式从而求得个数；
（3）由平抛运动规律可求得第一个钢球与最后一个钢球落地后的水平距离．

解答 解：（1）小球第一次转回到顶部碰前状况，设其速度为v1，根据题意可知，损失部分机械能，重力势能不变，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}×（1-19%）=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}×81%$=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得v1=0.9v0．
小球A在顶部与钢球碰撞，由动量守恒定律、机械能守恒定律得：
mv1=mv1′+Mv″，
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}′}^{2}+\frac{1}{2}Mv{″}^{2}$
联立解得：${v}_{1}′=\frac{m-M}{M+m}{v}_{1}=-15m/s$，负号表示与碰前入射速度方向相反，v″=7.5m/s．
同理可得，碰撞n次以后瞬间的速度为vn'，则：
${v}_{n}′=\frac{m-M}{M+m}{v}_{n}=-（\frac{3}{5}）^{n}{v}_{0}$，负号表示与碰前入射速度方向相反，
小球要能与钢球碰撞则必须能完成完整的圆周运动，所以碰n次后假定再次到达P位置，其速度一定有：
vn+1=0.9vn′$≥\sqrt{gL}$
所以$（\frac{3}{5}）^{n}{v}_{0}≥\sqrt{gL}$
解得：n＜5，由于n是自然数，所以n=4，小球A可以与4 个钢球碰撞；
（3）第一个钢球碰后速度：v12=$\frac{m}{M}（{v}_{1}-{v}_{1}′）$=$\frac{1}{5}$×（22.5+15）=7.5m/s；
第4个钢球碰撞后速度：v54=$\frac{m}{M}$（v4-v4′）=$\frac{1}{50}$×$（\frac{3}{5}）^{4}$v0=0.0648m/s；
由于两球是分别朝向左右两边做平抛运动的，所以水平距离是：x=x1+x4
平抛时间是：t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$=$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$s=0.6s
x1=v21t
x4=v54t
x=x1+x4
解得：x=4.54m
答：（1）第一次碰撞结束时弹性小球A和被碰钢球的速度各为-15m/s、7.5m/s．
（2）小球A能将钢球碰出去的钢球个数为4个；
（3）第一个钢球与最后一个钢球落地后的水平距离为4.54m

点评 本题综合考查了动量守恒、机械能守恒定律及平抛运动规律等问题，要注意正确分析物理过程，明确物理规律的正确应用．

练习册系列答案
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14．在“蹦极”运动中，人由高空跃下到最低点的过程中（　　）
A．重力对人做正功
B．人的重力势能减小了
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D．这个过程中只发生了重力势能和弹性势能之间的相互转化
15．如图甲所示，质量相等大小可忽略的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球a的速率满足mgh=$\frac{1}{2}$mv2（h为小球所在的位置与提最高点的竖直高度差，v为小球所在位置的速率）．小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，运动过程中两绳子拉力大小随时间变化的关系如图乙中c、d所示．则下列说法正确的是（　　）
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12．直径为d的气泡从湖底升起，到达水面时直径扩大为2d，设湖水处处温度相同，大气压强为1.9×102，到湖水深度为0.133m．
19．如图被誉为“豪小子”的华裔球员林书豪在NBA赛场上投二分球时的照片．假设林书豪准备投篮前先曲腿下蹲，再竖直向上跃起．已知林书豪的质量为m，双脚离开地面时的速度为v，从开始下蹲到跃起过程中重心上升的高度为h，重力加速度为g，则（　　）
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9．如图所示，完整的撑杆跳高过程可以化简成三个阶段，持杆助跑，撑杆起跳上升，越杆下落（下落时人杆分离）最后落在软垫上到速度减为零．不计空气阻力，则（　　）
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B．运动员在撑杆起跳上升过程中机械能守恒
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16．如图所示，A、B、C是三个安装在绝缘支架上的金属体，其中C球带正电，A、B是两个完全相同且不带电的枕形导体．试问：

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（2）如何使A、B都带等量负电？
（3）如何使A带负电，B带等量的正电？
13．如图所示，两光滑金属导轨，间距d=0.2m，在桌面上的部分是水平的，处在磁感应强度B=0.1T、方向竖直向下的有界磁场中，电阻R=3Ω，桌面高H=0.8m，金属杆ab质量m=0.2kg、电阻r=1Ω，在导轨上距桌面h=0.2m高处由静止释放，落地点距桌面左边缘的水平距离s=0.4m，g=10m/s2，求：
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14．如图所示，一输入电压为220V、输出电压为48V的变压器副线圈烧坏．为弄清楚此变压器原、副线圈匝数，某同学拆下烧坏的副线圈，用绝缘导线在铁芯上新绕了5匝线圈，然后将原线圈接到220V交流电源上，测得新绕线圈两端的电压为1V，求该变压器烧坏前的原、副线圈匝数．（按理想变压器分析）

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