Question

6．如图，两光滑金属导轨水平放置，中间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．两金属棒a，b与导轨相垂直，且始终接触良好．设金属棒a的质量为M，b的质量为m，现给金属棒a一个水平向右的速度v₀，求经过多长时间后，两金属棒速度大小相同．

Answer 1

分析 a棒运动产生感应电动势，回路中有电流，两导体棒均受安培力作用，a棒做减速，b棒做加速运动，对b棒由牛顿第二定律结合闭合电路欧姆定律、安培力公式F=BIL列式求解．

解答 解：对ab棒整体，安培力为内力，水平方向合外力为零，两者的动量守恒，有动量定理可得：Mv₀=（M+m）v_共，解得两棒最后的共同速度为：${v}_{共}=\frac{M{v}_{0}}{m+M}$
对b棒受力分析：导体棒受重力、支持力和安培力；
设t₁时刻a棒速度为v_a，b棒的速度为v_b，由右手定则可知，回路中感应电动势为：E=BL（v_a-v_b）
感应电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL（{v}_{a}-{v}_{b}）}{R}$
安培力为：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{a}-{v}_{b}）}{R}$=ma_b=m$\frac{△v}{△t}$
故：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{a}-{v}_{b}）△t=m△v$
求和，有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}∑（{v}_{a}-{v}_{b}）∑△t=m∑△v$
得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-{v}_{共}-{v}_{共}）t=m{v}_{共}$，即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-\frac{2m{v}_{0}}{m+M}）t=\frac{{m}^{2}}{M+m}{v}_{0}$
解得：t=$\frac{{m}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}（M-m）}$．
答：经过$\frac{{m}^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}（M-m）}$时间后，两金属棒速度大小相同．

点评 本题关键是对b根据牛顿第二定律列出表达式进行分析，明确导体棒做加速度不断减小的减速运动，难点在要结合微元法进行分析．