题目内容
如图，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，其A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方．一个质量为m的小球在A点正上方P点由静止释放，自由下落至A点进入圆弧轨道，从B点平抛落到C点，已知O，A，C在一条直线上，且在过最高点B点时轨道对小球的作用力恰好等于小球的重力，求：（1）释放点P距A点的竖直距离．
（2）小球落点C到A点的水平距离．
（3）小球过最低点B′点时，对轨道的作用力的大小和方向．
分析：（1）小球到达B点时，由重力和轨道的压力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经B点的速度，从释放点到B点运用动能定理，根据机械能守恒和动能定理求出释放点距离A点的高度．
（2）小球离开B点做平抛运动，高度决定时间，根据时间和B点的速度求出水平距离．
（3）对于小球从P点到B′点的过程，根据机械能守恒定律求出小球过最低点B′点时的速度，运用牛顿第二定律和第三定律求解．
（2）小球离开B点做平抛运动，高度决定时间，根据时间和B点的速度求出水平距离．
（3）对于小球从P点到B′点的过程，根据机械能守恒定律求出小球过最低点B′点时的速度，运用牛顿第二定律和第三定律求解．
解答：解：（1）小球经过B点时，根据牛顿第二定律得：
mg+NB=m
由题意可知：NB=mg
则得：vB=
…①
从释放点到B点运用动能定理得：
mg（h-R）=
m
…②
由①②解得：h=2R；
（2）小球离开B点做平抛运动，
竖直方向有：R=
gt2… ③
得：t=
所以落点C与A点的水平距离为：x=vBt-R=
?
-R=R…④
（3）从释放点到B′点运用动能定理得：
mg（h+R）=
m
…⑤
在B′点，根据牛顿第二定律得：
NB′-mg=m
…⑥
解得：NB′=5mg
根据牛顿第三定律得：小球过最低点B′点时，对轨道的作用力的大小为：NB′′=NB′=5mg，方向竖直向下．
答：（1）释放点P距A点的竖直距离是2R．
（2）小球落点C到A点的水平距离是R．
（3）小球过最低点B′点时，对轨道的作用力的大小5mg，方向竖直向下．
mg+NB=m
| ||
| R |
由题意可知：NB=mg
则得：vB=
| 2gR |
从释放点到B点运用动能定理得：
mg（h-R）=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 B |
由①②解得：h=2R；
（2）小球离开B点做平抛运动，
竖直方向有：R=
| 1 |
| 2 |
得：t=
|
所以落点C与A点的水平距离为：x=vBt-R=
| 2gR |
|
（3）从释放点到B′点运用动能定理得：
mg（h+R）=
| 1 |
| 2 |
| v | ′2 B |
在B′点，根据牛顿第二定律得：
NB′-mg=m
| ||
| R |
解得：NB′=5mg
根据牛顿第三定律得：小球过最低点B′点时，对轨道的作用力的大小为：NB′′=NB′=5mg，方向竖直向下．
答：（1）释放点P距A点的竖直距离是2R．
（2）小球落点C到A点的水平距离是R．
（3）小球过最低点B′点时，对轨道的作用力的大小5mg，方向竖直向下．
点评：解决本题的关键要分析小球圆周运动的向心力来源、掌握平抛运动、牛顿运动定律进行求解．
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