Question

如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R，C端与圆心O等高，D端在O的正上方，BE为与水平方向成θ=45°角的光滑斜面，B点在C端的正上方．一个可看成质点的小球从A点由静止开始释放，自由下落至C点后进入圆弧形轨道，过D点后恰好从斜面BE的B点滑上斜面（无碰撞现象）．
（1）求过D点时小球对轨道的作用力；
（2）求释放点A到地面的竖直高度H；
（3）欲使小球能落到斜面BE上的E点，求释放点A到地面的竖直高度h．

Answer 1

分析：（1）小球从D到B点做平抛运动，飞到B点速度与水平成45°，运用速度的分解和平抛运动的规律，求出小球经过D点时的速度，由牛顿第二定律求解过D点时小球对轨道的作用力；
（2）根据机械能守恒定律，研究从A经C到D过程，即可求得H；
（3）小球落到B点时，由几何关系求出D与B高度差，小球从D平抛飞至E点，由平抛运动的规律求出小球经过D点时的速度，即可由机械守恒定律求出h．

解答：解：（1）小球从D平抛至B恰好与斜面无碰撞，则飞到B点速度与水平成45°，故有：
   v_BX=v_D…①
   v_By=gt…②
且tan45°=

vBy

vD

…③
   R=v_Dt…④
解得：vD=

gR

，t=

R g

小球过D点有：F+mg=m

v 2 D

R

…⑤
解得F=0，即小球对轨道恰无压力．
（2）从A经C到D，由机械能守恒有：
  mg(H-2R)=

1

2

m

v

2 D

…⑥
解得H=2.5R
（3）小球落到B点时，D与B高度差 h=

1

2

gt2=0.5R…⑦
即B点距E高度为1.5R
要使小球从D平抛飞至E点须  2R=

1

2

gt′2…⑧
  R+1.5Rcot45°=v′_D?t′…⑨
解得：v′D=1.25

gR

同理从A到D结合⑥式解得：H′=

89

32

R
答：（1）求过D点时小球对轨道的作用力是零；
（2）释放点A到地面的竖直高度H是2.5R；
（3）欲使小球能落到斜面BE上的E点，释放点A到地面的竖直高度是

89

32

R．

点评：本题是机械能守恒定律、牛顿第二定律和平抛运动的综合，关键是把握每个过程的物理规律．