Question

7．如图所示，可视为质点的总质量（包括装备）为m=60kg的滑板运动员，从高为H=15m的斜面AB的顶端A点由静止开始沿斜面下滑，在B点进入光滑的四分之一圆弧BC，圆弧BC半径为R=5m，运动员经C点沿竖直轨道冲出向上运动，经时间t=2s后又落回轨道．若运动员经C点后在空中运动时只受重力，轨道AB段粗糙、BC段光滑．g=10m/s²．（不计过B点时机械能的损耗）求：
（1）运动员在C点的速度和离开C点可上升的高度
（2）运动员（包括装备）运动到圆轨道最低点B时对轨道的压力大小
（3）从A点到B点，运动员损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）运动员在C点沿竖直方向冲出轨道，做竖直上抛运动，经过时间2s又从C点落回轨道，由竖直上抛运动的规律即可求出速度；
（2）根据机械能守恒求出运动员经过最低点时的速度，再由牛顿运动定律求解对轨道的压力；
（3）从A滑到3的过程中，部分的机械能转化为内能，机械能减小，由功能关系即可求出机械能的损失．

解答 解：（1）设运动员离开C点时的速度为v₁，上升的最大高度为h，得：
v₁=g$\frac{t}{2}$=10×$\frac{2}{2}$=10m/s，
h=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{1{0}^{2}}{20}$=5m
（2）设运动员到达B点时的速度为v₂，则B到C，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
在轨道最低点，有：N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
联立解得：N=3000N
由牛顿第三定律得运动员在轨道最低点B时对轨道的压力大小 N′=N=3000N，方向竖直向下．
（3）A到B过程，运动员（包括装备）损失的机械能为：
$△E=mgH-\frac{1}{2}mv_2^2=60×10×15-\frac{1}{2}×60×200=3000J$
答：（1）运动员离开C点时的速度和上升的最大高度分别为10m/s和5m．
（2）运动员（包括装备）运动到圆轨道最低点B时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下．
（3）从A点到B点，运动员（包括装备）损失的机械能为3000J．

点评 本题考查学生应用运动学规律、牛顿运动定律和功能原理综合处理物理问题的能力．知道竖直上抛运动的对称性是解题的关键，根据该关系可求出时间．