Question

7．如图，三棱镜ABC中．∠A=90°，∠B=60°．AB的边长为．让光线从AB边的中点D以某一角度射入三棱镜，到达AC边时恰好发生全反射．已知棱镜的折射率n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，不考虑光在BC边的反射，求：（真空中的光速为c）
（1）光从BC边出射角的正弦值sini；
（2）光在棱镜中传播所用的时间t．

Answer 1

分析 （1）光线到达AC边时恰好发生全反射，入射角等于临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，画出光路图，由几何知识求出光线反射到BC边上时的入射角，再由折射定律求光从BC边出射角的正弦值sini；
（2）由几何关系求出光在棱镜中传播的路程s，由v=$\frac{c}{n}$得到光在棱镜中传播的速度v，由t=$\frac{s}{v}$求光在棱镜中传播所用的时间．

解答 解：（1）由sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$得
临界角 C=60°
由于光线到达AC边时恰好发生全反射，入射角等于临界角C，光路图如图所示．
从F点出射时，入射角为r，出射角为i．
由几何知识可得 r=60°-30°=30°
由n=$\frac{sini}{sinr}$得 sini=nsinr=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）由几何关系知 DE=l，EF=BD=$\frac{l}{2}$
则光在棱镜中传播的路程 s=DE+EF=l+$\frac{l}{2}$=$\frac{3}{2}$l
光在棱镜中传播的速度 v=$\frac{c}{n}$
则光在棱镜中传播所用的时间 t=$\frac{s}{v}$
联立得 t=$\frac{\sqrt{3}l}{c}$
答：
（1）光从BC边出射角的正弦值sini为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）光在棱镜中传播所用的时间t为$\frac{\sqrt{3}l}{c}$．

点评 本题是几何光学问题，做这类题目，一般首先要正确画出光路图，当光线从介质射入空气时要考虑能否发生全反射，要能灵活运用几何知识帮助求角的大小．