Question

18．如图所示，在光滑的水平面上固定有左、右两竖直挡板，挡板间距离足够长，有一质量为M，长为L的长木板靠在左侧挡板处，另有一质量为m的小物块（可视为质点），放置在长木板的左端，已知小物块与长木板间的动摩擦因数为μ，且M＞m．现使小物块和长木板以共同速度v₀向右运动，设长木板与左、右挡板的碰撞中无机械能损失．试求：
（1）将要发生第二次碰撞时，若小物块仍未从长木板上落下，则它应距长木板左端多远；
（2）为使小物块不从长木板上落下，板长L应满足什么条件；
（3）若满足（2）中条件，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，试计算整个系统从开始到刚要发生第四次碰撞前损失的机械能．（计算结果小数点后保留一位）

Answer 1

分析 （1）选取正方向，运用动量守恒来确定共同运动的速度，根据能量守恒定律列出等式求解；
（2）m相对M向右滑动，以后M与左挡板碰撞，碰后m相对于M向左滑动，直到达到共同速度，根据动量守恒定律和能量守恒定律列出等式求解；
（3）根据能量守恒定律得求出第四次碰撞前损失的机械能．

解答 解：（1）对m，M组成的系统，选定水平向左为正方向
根据动量守恒得
Mv₀-mv₀=（M+m）v₁
根据能量守恒定律得
μmgL₁=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{1}^{2}$
解得 L₁=$\frac{2{Mv}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$
（2）上述过程中，m相对M向右滑动，以后M与左挡板碰撞，碰后m相对于M向左滑动，直到达到共同速度v₂
规定向左为正方向，根据动量守恒得
（M-m）v₁=（M+m）v₂，
根据能量守恒定律得
μmgL₂=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{2}^{2}$
解得 L₂=$\frac{2{Mv}_{1}^{2}}{（M+m）μg}$
L₂＜L₁，同理L₃＜L₂
只要第一次碰撞后m未从M上掉下，以后就不可能掉下，
所以板长L应满足L≥$\frac{2{Mv}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$
（3）根据能量守恒定律得
到发生第四次碰撞前，系统损失的机械能
△E=μmg（L₁+L₂+L₃）=μmg×$\frac{2M}{（M+m）μg}$（${v}_{0}^{2}$+${v}_{1}^{2}$+${v}_{2}^{2}$）
解得：△E=149.79J
答：（1）将要发生第二次碰撞时，若小物块仍未从长木板上落下，则它应距长木板左端距离是$\frac{2{Mv}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（2）为使小物块不从长木板上落下，板长L应满足L≥$\frac{2{Mv}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（3）整个系统从开始到刚要发生第四次碰撞前损失的机械能是149.79J．

点评 本题考查动量守恒定律和能量守恒定律的应用，并多次在不同过程中使用，让同学们更能熟练的掌握规律．综合性较强，对学生的能力要求较高，要加强这方面的训练．