Question

4．一小球在流体中运动时，它将受到流体阻碍运动的黏滞力，实验发现当小球相对流体的速度不太大时，黏滞阻力F₁=6πηvr，式中η为黏滞系数，随液体的种类和温度而定，v为小球相对流体运动的速度，r为小球的半径，现将一个半径r=1.0mm的钢珠放入常温下的甘油中让它下落，已知钢的密度为ρ=8.5×10³kg/m³，常温下甘油的密度为ρ₀=1.3×10³kg/m³，甘油的黏滞系数η=0.80Pa•s （取g=10m/s²）
（1）钢珠从静止释放后，在甘油中做什么性质的运动？
（2）当钢珠的加速度a=$\frac{g}{2}$时，它的速度多大？

Answer 1

分析 （1）钢球从静止释放后，受到重力和黏滞阻力，由题分析阻力随速度的变化，判断合力的变化情况，从而分析出其运动性质．
（2）根据牛顿第二定律求出小球加速度为$\frac{g}{2}$时的黏滞阻力，再根据黏滞阻力求出小球的速度．

解答 解：（1）钢球从静止释放后，受到向下的重力和向上的黏滞阻力和浮力，由题F₁=6πηvr，可知阻力随速度的增大而增大，则钢球的合力减小，加速度减小，钢球做加速度减小的变加速运动．当阻力、浮力与重力平衡条件时做匀速直线运动．
（2）小球受重力、阻力、浮力作用下做加速运动，根据牛顿第二定律有：
mg-F_浮-F₁=ma
由题意有：$m=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$，${F}_{浮}={ρ}_{0}\frac{4}{3}π{r}^{3}$g，F₁=6πηvr
代入有：$ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}g-{ρ}_{0}\frac{4}{3}π{r}^{3}g-6πηvr=m\frac{g}{2}$
可得：$v=\frac{（\frac{1}{2}ρ-{ρ}_{0}）\frac{4}{3}π{r}^{3}g}{6πηr}$=$\frac{2.95×1{0}^{3}×\frac{4}{3}×π×（1×1{0}^{-3}）^{3}×10}{6π×0.80×1×1{0}^{-3}}m/s$=8.2×10^-3m/s
答：（1）钢珠从静止释放后，在甘油中先做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动；
（2）当钢珠的加速度a=$\frac{g}{2}$时，它的速度为8.2×10^-3m/s．

点评 本题是信息题，要在读懂题意的基础上，运用动力学方法分析钢球的运动情况，运用共点力平衡进行求解．